Алгебра
 |
Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. Автор книги, видный американский математик, профессор Колумбийского университета С. Ленг, хорошо знаком советскому читателю по двум вышедшим ранее монографиям "Алгебраические числа" и "Введение в теорию дифференцируемых многообразий" (издательство "Мир", 1966 и 1967). В книге рассмотрены все основные разделы современной алгебры (группы, кольца, модули, теория полей, линейная и полилинейная алгебра, представления грунп). Читатель найдет здесь также первоначальные сведения по гомологической алгебре и алгебраической геометрии. Книга отражает изменения, происшедшие в алгебре за последние два десятилетия, и дает читателю возможность основательно познакомиться с областями алгебры, ставшими уже классическими. Язык категорий и функторов связывает воедино разрозненные ранее понятия и результаты. Книга будет весьма полезной математикам различных специальностей, студентам, аспирантам и научным работникам. Она может служить основой специальных курсов по алгебре. |
Оглавление
От редактора переводаПредисловие
Предварительные сведения
Литература
Часть первая. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И МОДУЛИ
§ 1. Моноиды
§ 2. Группы
§ 3. Циклические группы
§ 4. Нормальные подгруппы
§ 5. Действие группы на множестве
§ 6. Силовские подгруппы
§ 7. Категории и функторы
Произведения и копроизведения
§ 8. Свободные группы
§ 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы
§ 10. Конечно порожденные абелевы группы
§ 11. Дуальная группа
УПРАЖНЕНИЯ
Глава II. Кольца
§ 1. Кольца и гомоморфизмы
§ 2. Коммутативные кольца
§ 3. Локализация
§ 4. Кольца главных идеалов
УПРАЖНЕНИЯ
Глава III. Модули
§ 2. Группа гомоморфизмов
§ 3. Прямые произведения и суммы модулей
§ 4. Свободные модули
§ 5. Векторные пространства
§ 6. Дуальное пространство
УПРАЖНЕНИЯ
Глава IV. Гомологии
§ 1. Комплексы
§ 2. Гомологическая последовательность
§ 3. Эйлерова характеристика
§ 4. Теорема Жордана — Гёльдера
УПРАЖНЕНИЯ
Глава V. Многочлены
§ 1. Свободные алгебры
§ 2. Определение многочленов
§ 3. Элементарные свойства многочленов
§ 4. Алгоритм Евклида
§ 5. Простейшие дроби
§ 6. Однозначность разложения на простые множители многочленов от нескольких переменных
§ 7. Критерии неприводимости
§ 8. Производная и кратные корни
§ 9. Симметрические многочлены
§ 10. Результант
УПРАЖНЕНИЯ
Глава VI. Нётеровы кольца и модули
§ 1. Основные критерии.
§ 2. Теорема Гильберта
§ 3. Степенные ряды
§ 4. Ассоциированные простые идеалы
§ 5. Примарное разложение
УПРАЖНЕНИЯ
Часть вторая. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
§ 1. Конечные и алгебраические расширения
§ 2. Алгебраическое замыкание
§ 3. Поля разложения и нормальные расширения
§ 4. Сепарабельные расширения
§ 5. Конечные поля
§ 6. Примитивные элементы
§ 7. Чисто несепарабельные расширения
УПРАЖНЕНИЯ
Глава VIII. Теория Галуа
§ 1. Расширения Галуа
§ 2. Примеры и приложения
§ 3. Корни из единицы
§ 4. Линейная независимость характеров
§ 5. Норма и след
§ 6. Циклические расширения
§ 7. Разрешимые и радикальные расширения
§ 8. Теория Куммера
§ 9. Уравнение X^n - a = 0
§ 10. Когомологии Галуа
§ 11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов
§ 12. Теорема о нормальном базисе
УПРАЖНЕНИЯ
Глава IX. Расширения колец
§ 1. Целые расширения колец
2. Целые расширения Галуа
§ 3. Продолжение гомоморфизмов
УПРАЖНЕНИЯ
Глава X. Трансцендентные расширения
§ 1. Базисы трансцендентности
§ 2. Теорема Гильберта о нулях
§ 3. Алгебраические множества
§ 4. Теорема Нётера о нормализации
§ 5. Линейно свободные расширения
§ 6. Сепарабельные расширения
§ 7. Дифференцирования
УПРАЖНЕНИЯ
Глава XI. Вещественные поля
§ 1. Упорядоченные поля
§ 2. Вещественные поля
§ 3. Вещественные нули и гомоморфизмы
УПРАЖНЕНИЯ
Глава XII. Абсолютные значения
§ 1. Определения, зависимость и независимость
§ 2. Пополнения
§ 3. Конечные расширения
§ 4. Нормирования
§ 5. Пополнения и нормирования
§ 6. Дискретные нормирования
§ 7. Нули многочленов в полных полях
УПРАЖНЕНИЯ
Часть третья. ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 1. Матрицы
§ 2. Ранг матрицы
§ 3. Матрицы и линейные отображения
§ 4. Определители
§ 5. Двойственность
§ 6. Матрицы и билинейные формы
§ 7. Полуторалинейная двойственность
Терминология
УПРАЖНЕНИЯ
Глава XIV. Структура билинейных форм
§ 1. Предварительные сведения, ортогональные суммы
§ 2. Квадратичные отображения
§ 3. Симметрические формы, ортогональные базисы
§ 4. Гиперболические пространства
§ 5. Теорема Витта
§ 6. Группа Витта
§ 7. Симметрические формы над упорядоченными полями
§ 8. Алгебра Клиффорда
§ 9. Знакопеременные формы
§ 10. Пфаффиан
§ 11. Эрмитовы формы
§ 12. Спектральная теорема (эрмитов случай)
§ 13. Спектральная теорема (симметрический случай)
УПРАЖНЕНИЯ
Глава XV. Представление одного эндоморфизма
§ 2. Модули над кольцами главных идеалов
§ 3. Разложение над одним эндоморфизмом
§ 4. Характеристический многочлен
УПРАЖНЕНИЯ
Глава XVI. Полилинейные произведения
§ 1. Тензорное произведение
§ 2. Основные свойства
§ 3. Расширение основного кольца
§ 4. Тензорное произведение алгебр
§ 5. Тензорная алгебра модуля
§ 6. Знакопеременные произведения
§ 7. Симметрические произведения
§ 8. Кольцо Эйлера — Гротендика
§ 9. Некоторые функториальные изоморфизмы
УПРАЖНЕНИЯ
Глава XVII. Полупростота
§ 1. Матрицы и линейные отображения над некоммутативными кольцами
§ 2. Условия, определяющие полупростоту
§ 3. Теорема плотности
§ 4. Полупростые кольца
§ 5. Простые кольца
§ 6. Сбалансированные модули
УПРАЖНЕНИЯ
Глава XVIII. Представления конечных групп
§ 1. Полупростота групповой алгебры
§ 2. Характеры
§ 3. Одномерные представления
§ 4. Пространство функций классов
§ 5. Соотношения ортогональности
§ 6. Индуцированные характеры
§ 7. Индуцированные представления
§ 8. Положительное разложение регулярного характера
§ 9. Сверхразрешимые группы
§ 10. Теорема Брауэра
§ 11. Поле определения представления
УПРАЖНЕНИЯ
Добавление