Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Терминология

По некоторой странной причине группа автоморфизмов симметрической (соответственно знакопеременной или эрмитовой) формы на векторном пространстве называется ортогональной (соответственно симплектической или унитарной) группой этой формы. Слово „ортогональный" особенно неудачно, так как ортогональное отображение сохраняет не только ортогональность — оно сохраняет также скалярное произведение, т. е. длину. Далее, слово „симплектический“ также неудачно. Дело в том, что часто рассматривают эрмитовы формы над некоторыми телами (обладающими автоморфизмами порядка 2), и их группы автоморфизмов также были названы симплектическими, что создает настоящую путаницу с использованием этого слова применительно к знакопеременным формам.

Я обсуждал с несколькими лицами вопрос, как унифицировать и улучшить терминологию, и нам кажется, что можно было бы принять следующие соглашения.

Как сказано в тексте, группа автоморфизмов любой формы обозначается символом

С другой стороны, имеется стандартная форма, которая над полем вещественных чисел выражается через координаты в виде

над полем комплексных чисел

и над телом кватернионов — посредством той же формулы, что и в комплексном случае. Группу автоморфизмов этой формы следовало бы называть унитарной группой и обозначать через . Группы точек из в поле вещественных чисел (соответственно в поле комплексных чисел или в теле кватернионов) тогда обозначались бы через

и эти три группы назывались бы вещественной унитарной группой (соответственно комплексной унитарной группой или кватернионной унитарной группой). Аналогично группа точек из в, любом подполе или подкольце k тела кватернионов обозначалась бы через

Наконец, если -стандартная знакопеременная форма, задаваемая матрицей

то ее группу автоморфизмов можно было бы обозначать через и называть группой знакопеременной формы или просто знакопеременной группой, если нет опасности спутать ее со знакопеременной группой перестановок.

Группа точек группы знакопеременной формы в поле k обозначалась бы тогда через

Как обычно, подгруппа в состоящая из тех элементов, определитель которых равен 1, обозначалась бы добавлением впереди буквы S и называлась бы по-прежнему специальной группой. В четырех стандартных случаях это дает

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление