Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Симметрические формы над упорядоченными полями

Теорема 4 (Сильвестр). Пусть k — упорядоченное полей Е — векторное пространство над k с невырожденной симметрической формой g. Существует целое число такое, что каков бы ни был ортогональный базис для Е, среди элементов в точности будут точности будут

Доказательство. Пусть для . После изменения нумерации базисных элементов мы можем считать, что, скажем, для Пусть любой ортогональный базис и . Допустим, и для . Докажем, что . Действительно, достаточно доказать, что

линейно независимы, так как тогда , откуда в силу симметрии. Предположим, что

Тогда

Возведение в квадрат обеих частей равенства дает

Левая сторона 0, а правая сторона . Следовательно, обе стороны равны 0, откуда вытекает, что другими словами, что наши векторы линейно независимы.

Следствие 1. Предположим, что всякий положительный элемент в k является квадратом. Тогда существует ортогональный базис пространства Е, такой, что для для , причем число однозначно определено.

Доказательство. Разделим каждый вектор произвольного ортогонального базиса на квадратный корень из абсолютной величины его квадрата.

Базис, обладающий свойством, описанным в следствии, называется ортонормальным. Если X — элемент из Е, имеющий относительно такого базиса координаты то

Будем говорить, что симметрическая форма g положительно определенная, если для всех . Это имеет место тогда и только тогда, когда в теореме . Мы будем говорить, что g отрицательно определенная, если для всех .

Следствие 2. Векторное пространство Е обладает ортогональным разложением таким, что g будет положительно определенной на и отрицательно определенной на Размерность одна и та же во всех таких разложениях.

Предположим теперь, что форма g положительно определенная и что всякий положительный элемент в k является квадратом.

Определим норму элемента , положив

Тогда если . Имеем также неравенство Шварца

для всех Оно доказывается обычным способом. Разложим

по билинейности и положим . Получим

Если или , то наше неравенство тривиально. Если ни один из этих элементов , то разделим на и получим то, что требуется.

Из неравенства Шварца выводится неравенство треугольника

Мы предоставляем вывод читателю в качестве шаблонного упражнения.

В случае когда мы имеем положительно определенную форму, существует канонический путь получения ортонормального базиса посредством индуктивного процесса, начинающегося с произвольного базиса . Пусть

Тогда имеет норму 1. Положим

а затем

По индукции полагаем

и

Тогда — ортонормальный базис. Только что описанный индуктивный процесс известен под названием ортогонализации Грама — Шмидта.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление