Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Пфаффиан

У знакопеременной матрицы по определению и диагональные элементы равны 0. Как мы видели в гл. XIII, § 6, это матрица знакопеременной формы Пусть - матрица размера , где — четное. (Для нечетного см. упражнения)

Мы начнем с поля характеристики ОВ силу теоремы 6 существует неособая матрица С, для которой будет матрицей

и, следовательно,

в соответствии с тем, тривиально ядро знакопеременной формы или нет Таким образом, мы видим, что в любом случае является квадратом в поле

Перейдем теперь к кольцу целых чисел Z. Пусть алгебраически независимых элементов над Q. Положим для для Тогда матрица ( - знакопеременная и, следовательно, есть квадрат в поле полученном из Q присоединением всех переменных Однако является многочленом из и в силу однозначности разложения на множители в — квадрат некоторого многочлена из Запишем

Многочлен Р однозначно определен с точностью до множителя ±1. Если мы подставим такие значения для чтобы матрица Т приняла специальный вид

то получим, что существует однозначно определенный многочлен Р с целочисленными коэффициентами, принимающий значение 1 для этого специализированного множества значений (t). Мы будем называть Р общим пфаффианом размера и обозначать его через

Пусть R — коммутативное кольцо. Имеем гомоморфизм

индуцированный однозначно определенным гомоморфизмом Z в R. Образ общего пфаффиана размера в будет многочленом с коэффициентами в R, который мы по-прежнему обозначаем через . Если G — знакопеременная матрица с коэффициентами в R, то обозначим через значение полученное после подстановки вместо Так как определитель коммутирует с гомоморфизмами, то имеет место

Теорема 7. Пусть R — коммутативное кольцо и знакопеременная матрица Тогда

Кроме того, для всякой матрицы С размера над

Доказательство. Первое утверждение уже было доказано выше. Второе достаточно доказать над Z. Пусть элементы алгебраически независимы над Q, причем алгебраически независимы над Q. Пусть U — матрица Тогда

что получается немедленно взятием квадратов от обеих частей. Подставим значения в U и Г, такие, что U становится единичной матрицей, а Т — стандартной знакопеременной матрицей, Заключаем, что с правой стороны должен быть знак Тем самым, как обычно, наше утверждение справедливо для любых подстановок вместо U матрицы над R и вместо Т знакопеременной матрицы над R, что и требовалось показать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление