Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Расширение основного кольца

Пусть k — коммутативное кольцо и Е — -модуль. Мы акцентируем внимание на k, так как собираемся сейчас работать с несколькими кольцами. Пусть — гомоморфизм коммутативных колец, так что кольцо k является -алгеброй и может быть рассматриваемо также как -модуль. Имеем - линейное отображение

определяемое правилом

Оно индуцирует линейное отображение над

и, следовательно, - билинейное отображение Непосредственно проверяется, что это последнее отображение превращает в - модуль, который мы будем называть расширением Е над и обозначать через Мы будем также говорить, что модуль получен расширением основного кольца от до

Пример 1. Пусть а — идеал в — канонический гомоморфизм. Тогда расширение Е над называется также редукцией Е по модулю а. Эта ситуация часто встречается над кольцом целых чисел, когда мы производим редукцию по модулю простого числа [т. е. по модулю простого идеала ].

Пример 2. Пусть — поле и - его расширение. Тогда Е — векторное пространство над а -векторное пространство над Мы видим, что в терминах базиса это есть то самое расширение, на которое мы ссылались в предыдущей главе. Этот пример будет более подробно развит в упражнениях.

Для наглядного изображения расширения основного кольца мы будем рисовать такие же диаграммы, как и в теории полей

Следствие предложения 4 дает нам

Предложение 8. Пусть Е — свободный модуль над с базисом Положим Тогда будет свободным модулем над с базисом

Мы уже использовали раньше частный случай этого предложения, когда доказывали, что размерность свободного модуля определена, т. е. что любые два базиса имеют одинаковую мощность. Действительно, в этом случае мы производили редукцию по модулю какого-либо максимального идеала кольца что позволяло свести вопрос к случаю векторных пространств над полем.

Когда колец несколько, желательно указывать в обозначении тензорного произведения. Таким образом, следует писать

Имеет место транзитивность расширения основного кольца, а именно если - последовательность гомоморфизмов коммутативных колец, то имеет место изоморфизм

причем этот изоморфизм является изоморфизмом -модулей. Доказательство тривиально и предоставляется читателю.

Если Е обладает мультипликативной структурой, то мы можем расширять основное кольцо также и для этой структуры. Пусть гомоморфизм колец, такой, что всякий элемент образа в А коммутирует со всеми элементами в А (т. е. некоторая -алгебра). Пусть гомоморфизм коммутативных колец. Имеем -линейное отображение

определяемое правилом

Получаем индуцированное линейное отображение над

и, следовательно, индуцированное -билинейное отображение

Тривиально проверяется, что закон композиции на , который мы только что определили, ассоциативен. В имеется единичный элемент, а именно Имеется гомоморфизм кольца k в , задаваемый соответствием Таким образом, тотчас видно, что есть -алгебра. Отметим, что отображение есть гомоморфизм кольца А в и что мы получаем коммутативную диаграмму кольцевых гомоморфизмов

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление