Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Симметрические произведения

Пусть обозначает симметрическую группу на символах, действующую, скажем, на множестве целых чисел Рассмотрим - линейное отображение

оно называется симметрическим, если

Пусть — подмодуль в , порожденный всеми элементами вида

где Введем фактормодуль и рассмотрим прямую сумму

Непосредственно ясно, что прямая сумма

— идеал в и, следовательно, S (Е) — градуированная А-алгебра, называемая симметрической алгеброй модуля Е.

Далее, каноническое отображение

получаемое композицией отображений

универсально для -линейных симметрических отображений. Все это уже должно стать для читателя шаблонным,

Отметим, что S — функтор из категории модулей в категорию градуированных -алгебр, Образ при каноническом отображении

будет обозначаться просто через

Предложение 13. Пусть Е — свободный модуль размерности над — некоторый базис для Е над

Элементы этого базиса, рассматриваемые как элементы из в , алгебраически независимы над k, и алгебра S (Е) изоморфна поэтому алгебре многочленов от переменных над

Доказательство. Взяв алгебраически независимые переменные над k, образуем алгебру многочленов . Пусть -модуль однородных многочленов степени . Определим отображение следующим образом. Если -элементы из Е, которые могут быть записаны в виде

то наше отображение задается правилом

Очевидно, что это отображение полилинейно и симметрично. Следовательно, оно может быть пропущено через линейное отображение

Из коммутативности нашей диаграммы ясно, что для всякого набора из целых чисел элемент из S (Е) отображается на Так как одночлены степени линейно независимы над k, то одночлены в также линейно независимы над k, и наше отображение является изоморфизмом. Тотчас проверяется, что умножение в соответствует умножению многочленов в и, следовательно, отображение в алгебру многочленов, описанное выше для каждой компоненты , индуцирует изоморфизм алгебры S (Е) на алгебру что и требовалось.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление