Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы

Абелевы группы образуют категорию, которую можно обозначить символом . Заметим, что если семейство абелевых групп, то их произведение в категории групп является также произведением в категории абелевых групп, т. е. если мы образуем теоретикомножественное произведение

и наделим его структурой группы с помощью покомпонентного умножения, то оно станет абелевой группой, обладающей необходимым свойством универсальности.

Копроизведение в категории абелевых групп обычно называется прямой суммой.

Предложение 10. Прямые суммы в категории абелевых групп существуют.

Доказательство. Пусть - семейство абелевых групп.

Рассмотрим подмножество А прямого произведения состоящее из всех семейств таких, что для всех, кроме конечного числа индексов i.

Ясно, что А — подгруппа в произведении. Для каждого индекса мы определим отображение

положив равным элементу из компонента которого есть а все остальные компоненты равны 0. Очевидно, X, — инъективный гомоморфизм. Мы утверждаем, что А вместе с семейством отображений есть прямая сумма семейства Пусть - произвольное семейство гомоморфизмов в абелеву группу В. Определим отображение

формулой

Сумма справа в действительности конечная, так как в ней все члены, кроме конечного числа, равны 0. Непосредственно проверяется, что отображение - гомоморфизм. Кроме того, ясно, что для всякого j и всякого . Таким образом, удовлетворяет необходимому условию коммутативности. Ясно также, что отображение однозначно определено, чем доказательство и завершено.

Заметим, что в случае конечного множества прямая сумма и прямое произведение совпадают.

Пусть А — абелева группа и В, С — её подгруппы. Если , то отображение

задаваемое правилом является изоморфизмом (мы уже отмечали это в некоммутативном случае). Вместо записи мы будем писать

и говорить, что А — прямая сумма В и С. Аналогичное обозначение используется и для прямой суммы любого конечного числа подгрупп таких, что и

В этом случае пишем

Пусть теперь S — множество и — категория, объектами которой являются отображения множества S в абелевы группы, с очевидным образом определяемыми морфизмами: если — два отображения в абелевы группы, то морфизм из в f — это гомоморфизм (групп) такой, что коммутативна обычная диаграмма, т. е.

Универсальный объект этой категории называется свободной абелевой группой, порожденной множеством S. Мы увидим, что такой объект всегда существует.

Действительно, пусть — множество всех отображений таких, что для почти всех Тогда Z(S) — абелева группа (сложением в которой служит обычное сложение отображений), Пусть k — целое число и — некоторый элемент из S. Мы обозначаем через отображение для которого при у Очевидно, что всякий элемент из Z(S) может бьпь записан в виде

где — некоторые целые числа и причем все элементы различны. Кроме того, допускает единственное такое представление, так как если

то

откуда для всех

Вложим S в Z(S) посредством отображения для которого Ясно, что инъективно и что порождает Z(S). Для всякого отображения В множества S в абелеву группу В определим отображение

формулой

Это отображение — гомоморфизм (тривиально), для которого соответствующая диаграмма коммутативна, т. е. (тоже тривиально). Это единственный гомоморфизм, обладающий указанным свойством, так как для всякого такого гомоморфизма должно выполняться условие . Таким образом, наш универсальный объект построен.

Обычно отождествляют S с его образом в Z(S); иногда мы будем опускать точку и писать просто или

Для всякого отображения Я: S одного множества в другое существует единственный гомоморфизм X, для которого коммутативна следующая диаграмма:

Действительно, А, есть не что иное, как в обозначениях предыдущего параграфа. Доказательство этого утверждения предоставляется читателю в качестве тривиального упражнения.

Положим Очевидно, что есть функтор из категории множеств в категорию абелевых групп.

В качестве упражнения покажите, что всякая абелева группа А есть факторгруппа некоторой свободной абелевой группы F. Если А — конечно порожденная группа, то покажите, что и F можно выбрать конечно порожденной.

Если множество S состоит из элементов, то мы будем говорить, что свободная абелева группа есть свободная абелева группа с образующими. Если S — множество из символов то мы скажем, что — свободная абелева группа со свободными образующими

Абелева группа называется свободной, если она изоморфна свободной абелевой группе для некоторого множества . Пусть А — абелева группа, и пусть S — такое подмножество в А, что для любого данного существует единственный набор целых чисел по одному для каждого , такой, что почти все и

Тогда ясно, что группа А изоморфна свободной абелевой группе мы называем S множеством свободных образующих группы А или также ее базисом. Аналогичным образом определяется понятие семейства свободных образующих.

Несколько слов об обозначениях. Если А — абелева группа и Т — подмножество элементов из А, то мы обозначаем через подгруппу, порожденную всеми элементами из Т, т. е. наименьшую подгруппу в А, содержащую Т.

Пример. Группа Гротендика. Пусть М — коммутативный моноид, записываемый аддитивно. Существуют коммутативная группа называемая группой Гротендика моноида М, и гомоморфизм моноидов

обладающие свойством универсальности относительно гомоморфизмов моноида М в коммутативные группы.

Доказательство. Пусть — свободная абелева группа, порожденная М. Обозначим через образующую группы соответствующую элементу . Пусть В — подгруппа, порожденная всеми элементами вида

где Положим Пусть, далее,

— отображение, являющееся композицией вложения моноида М в задаваемого соответствием и канонического отображения

Ясно, что — гомоморфизм, удовлетворяющий нужному свойству универсальности.

Будем говорить, что в М выполняется закон сокращения, если для любых , связанных соотношением , имеем

Справедлив следующий важный критерий инъективности построенного выше универсального отображения .

Если в М выполняется закон сокращения, то каноническое отображение у моноида М в его группу Гротендика инъективно.

Доказательство. Доказательство здесь по существу то же самое, что и при построении отрицательных целых чисел, исходя из натуральных. Рассмотрим пары , где и скажем, что пара эквивалентна паре , если (Из справедливости закона сокращения вытекает, что это действительно отношение эквивалентности.) Сложение пар определим покомпонентно. Тогда классы эквивалентности пар образуют группу, нулевым элементом которой служит класс пары (0, 0) [или класс пары (х, х) для любого ]. Противоположным для элемента (х, у) является (у, х). Имеет место гомоморфизм

Из закона сокращения сразу следует, что он инъективен. Таким образом, мы построили инъективный гомоморфизм моноида М в некоторую группу. Отсюда вытекает, что универсальный гомоморфизм также должен быть инъективен.

Мы рассмотрим позже несколько примеров универсальных групп К(М).

Для данных абелевой группы и ее подгруппы В иногда бывает желательно найти подгруппу С, такую, что . Следующая лемма дает нам условие, при котором это возможно.

Лемма. Пусть — сюръективный гомоморфизм абелевых групп и В — ядро Тогда, если группа А свободна, то в А существует подгруппа, такая, что ограничение f на С индуцирует изоморфизм С на А, и .

Доказательство. Пусть — базис группы А, и для каждого пусть какой-либо элемент из А, для которого . Пусть С — подгруппа в А, порожденная всеми элементами . Если

для некоторых целых из которых почти все равны 0, то, применяя , получаем

откуда все Следовательно, наше семейство — базис подгруппы С. Аналогичным образом, если , то . Следовательно, Пусть . Так как , то существуют целые числа такие, что

Применяя находим, что последний элемент лежит в ядре скажем

Отсюда видно, что и, следовательно, что и утверждалось.

Теорема 4. Пусть А — свободная абелева группа, В — некоторая ее подгруппа. Тогда В — также свободная абелева группа и мощность базиса мощности базиса А. Любые два базиса В имеют одинаковую мощность, называемую рангом В.

Доказательство. Мы дадим доказательство только для случая,

когда А конечно порождена, скажем, базисом ; проводим доказательство индукцией по . Имеем представление А в виде прямой суммы

Пусть — проекция, т. е. гомоморфизм, для которого

каковы бы ни были . Пусть ядро ограничения на В. Тогда содержится в свободной подгруппе По индукции свободна и имеет базис из —1 элементов. В силу леммы в В существует подгруппа изоморфная подгруппе в (а именно, образу ), такая, что

Таким образом, f (В) — либо 0, либо бесконечная циклическая группа, т. е. свободная группа с одной образующей, Это доказывает, что группа В — свободная.

(В случае когда А не является конечно порожденной, можно использовать аналогичное рассуждение с трансфинитной индукцией; мы предоставляем это читателю.)

Заметим, далее, что из предыдущего следует, что существует по меньшей мере один базис подгруппы В, мощность которого п. Поэтому доказательство будет закончено, если мы покажем, что любые два базиса в В имеют одинаковую мощность. Пусть S — один базис с конечным числом элементов — другой базис, содержащий по крайней мере элементов. Достаточно доказать, что (затем можно воспользоваться симметрией). Пусть — простое число. Тогда факторгруппа есть прямая сумма циклических групп порядка р, причем в сумме имеется т. членов. Значит, порядок этой факторгруппы равен . Используя базис Т вместо S, заключаем, что содержит -кратное произведение циклических групп порядка , а потому , что и требовалось показать. (Отметим, что мы не предполагали a , что базис Т конечен.)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление