Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Сбалансированные модули

Пусть R — кольцо и Е — модуль. Положим . Пусть - естественный гомоморфизм, при котором для Если X — изоморфизм, то мы будем говорить, что модуль Е — сбалансированный. Мы будем говорить, что модуль Е — образующий (для -модулей), если всякий модуль является гомоморфным образом (возможно, бесконечной) прямой суммы модуля Е с собой.

Если Е - образующий, то существует сюръективный гомоморфизм (мы можем взять конечным, так как R конечно порождено одним элементом 1).

Теорема 8 (Морита). Всякий образующий Е сбалансирован и конечно порожден над R (Е).

Доказательство (Фейт). Докажем сначала, что для любого модуля F модуль сбалансирован. Отождествляем R и F в с подмодулями соответственно. Для пусть — отображение, при котором Тогда любой элемент коммутирует с и с каждым Отсюда мы тотчас заключаем, что и что, следовательно, -сбалансированный. Пусть Е — образующий и — сюръективный гомоморфизм. Так как - свободный модуль, то для некоторого модуля F, так что — сбалансированный. Пусть Тогда коммутирует со всяким элементом из (с компонентами ) и, следовательно, существует некоторый такой, что . Следовательно, чем доказано, что Е — сбалансированный, поскольку X, очевидно, инъективно.

Чтобы доказать, что Е конечно порожден над ), рассмотрим изоморфизмы аддитивных групп

Они будут также, очевидно, изоморфизмами -модулей, если мы определим операцию из R как композицию отображений (слева). Так как модуль -изоморфен Е относительно отображения то Е является -гомоморфным образом модуля и, следовательно, конечно порожден над R, что и доказывает теорему.

Пример. Пусть R — кольцо, не содержащее двусторонних идеалов, отличных от 0 и R. Если L — левый идеал то - образующий, так как и, следовательно, для подходящих элементов . Таким образом, теорема S является следствием теоремы 8.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление