Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Теорема Гильберта

Теорема 1. Пусть А — коммутативное нётерово кольцо. Тогда кольцо многочленов также нётерово.

Доказательство. Пусть — идеал в Обозначим через а, - множество элементов служащих старшими коэффициентами в многочленах

лежащих в . Тогда ясно, что есть идеал. (Если а, b лежат в то а ± b лежит в чтобы это увидеть, достаточно взять сумму и разность соответствующих многочленов. Если , то — это сразу видно, если умножить соответствующий многочлен на х.) Кроме того, имеем

другими словами, наша последовательность идеалов возрастающая. Действительно, умножив упомянутый выше многочлен на X, мы найдем, что

Последовательность идеалов стабилизируется, скажем, на

Пусть

Для каждого пусть — многочлен из степени 1 со старшим коэффициентом Мы утверждаем, что многочлены составляют множество образующих для .

Пусть -многочлен степени d из . Индукцией по d мы докажем, что лежит в идеале, порожденном Пусть . Если , то заметим, что старшие коэффициенты многочленов

порождают Следовательно, существуют элементы такие, что многочлен

имеет степень причем этот многочлен также лежит в а. Если , то мы также можем получить многочлен степени лежащий в а, вычтя некоторую линейную комбинацию

Заметим, что многочлен, который мы вычли из лежит в идеале, порожденном . По индукции мы можем найти такой многочлен в идеале, порожденном что доказав тем самым нашу теорему.

Следствие. Пусть А — нётерово коммутативное кольцо, и пусть — конечно порожденное коммутативное кольцо, содержащее А в качестве подкольца. Тогда В нётерово.

Доказательство. Представив В как факторкольцо кольца многочленов, применим теорему 1 и предложение 4.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление