Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Теорема о нормальном базисе

Теорема 20. Пусть — конечное расширение Галуа степени — элементы его группы Галуа G. Тогда существует элемент такой, что образуют базис К над

Доказательство. Здесь мы докажем это только для случая, когда k бесконечно. В случае конечного поля k доказательство можно будет провести позднее методами линейной алгебры как упражнение.

Для всякого пусть переменная и Положим Пусть

Тогда не является тождественным нулем, что видно, если подставить 1 вместо вместо для Так как k бесконечно, то по теореме 19 определитель не может быть равным нулю при всех если мы в подставим вместо Следовательно, существует элемент для которого

Предположим, что элементы таковы, что

Применим к этому соотношению для каждого Поскольку мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных Так как определитель из коэффициентов , то

и, следовательно, w будет искомым элементом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление