Главная > Математика > Алгебра
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

УПРАЖНЕНИЯ

1. Показать на примере, что следствие 2 § 3 перестает быть верным, если упорядочение поля k не предполагать архимедовым (в чем дело?). [Указание (Dubois D. W„ Notices Amer. Math. Soc., 1967. 14, № 3, 67T - 288). Пусть Q — поле рациональных чисел, t — переменная; на вводится упорядочение, относительно которого — бесконечно малая величина. Пусть К — вещественное замыкание поля где каждое — промежуточное поле, не допускающее квадратичного расширения в К. Положить

2. Пусть а алгебраично над — вещественное поле. Доказать, что а будет суммой квадратов в тогда и только тогда, когда для всякого вложения а поля в

3. Пусть F — конечное расширение поля Q и -линейный функционал, такой, что для всех Пусть Показать, что если для всех то а является суммой квадратов в F и F чисто вещественно, т. е. всякое вложение F в поле комплексных чисел содержится в поле вещественных чисел. [Указание: использовать тот факт, что след дает отождествление F с его дуальным пространством над Q, и применить аппроксимационную теорему из гл. XII, § 1.]

4. Прочитать формулировки результатов в статье „Теория вещественных точек” (Lang S., The theory of real places, Ann. Math., 1953, 378—391) и доказать эти результаты, не заглядывая в доказательства, данные в статье.

S. Пусть — вещественный интервал и — вещественный многочлен, положительный на этом интервале. Показать, что может быть записан в виде

где обозначает квадрат. [Указание: разложить многочлен и использовать тождество

6. Показать, что поле вещественных чисел имеет только тождественный автоморфизм. [Указание: показать, что автоморфизм сохраняет упорядочение.]

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление