Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА II. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ПОПУЛЯЦИЙ

§ 1. Экологическое введение

В моделях предыдущей главы развитие популяции рассматривалось в непрерывном времени и, более того, численность популяции представлялась решением дифференциального уравнения, т. е. во всяком случае непрерывной функцией. Такая схема требует определенных допущений относительно самой популяции, в частности, она .солжна быть достаточно многочисленной, чтобы ее численность можно было аппроксимировать непрерывной кривой. Наряду с этим, форма обыкновенных дифференциальных уравнений предполагает, что изменение численности в каждый момент времени t зависит лишь от мгновенных значений ее в данный момент. Согласиться с таким предположением можно лишь в ограниченном числе специальных случаев, а в большинстве реальных популяций довольно значительным оказывается запаздывающее действие факторов регуляции численности. Когда численность моделируется непрерывной функцией , то соответствующие эффекты учитываются в рамках дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами — их мы коснулись в § 3 предыдущей главы.

Ясно, однако, что более соответствует реальности представление о численности как о дискретной величине которая принимает некоторые значения в фиксированные моменты времени. Такая схема в точности отражает процесс переписи реальных (лабораторных или естественных) популяций, который осуществляется, как правило, в дискретные моменты времени. Естественное предположение, что численность зависит от численностей в некоторые предшествующие моменты времени, — одна из форм учета запаздывания — приводит к использованию математического аппарата разностных уравнений.

Разностное уравнение порядка имеет вид

где параметры функции F в общем случае зависят от того, на каком шаге t производятся вычисления. Для популяции это может означать изменение со временем внешних и внутренних факторов, определяющих ее развитие. Если же можно допустить, что эти факторы остаются постоянными в течение рассматриваемого периода времени, то мы приходим к уравнению с постоянным во времени видом правой части

т. е. численность популяции в момент t определенным (фиксированным) образом зависит лишь от ее численности в k предшествующих моментов.

Особенно заманчивой кажется идея использовать разностные уравнения в случае, когда численность каждого следующего поколения популяции зависит от численности лишь предыдущего поколения Такая ситуация имеет место, например, для популяций с неперекрывающимися поколениями без длительных диапауз в жизненном цикле. К таковым можно отнести, в частности, многие виды насекомых. Их взрослые особи живут непродолжительное время, достаточное для откладывания яиц, и к моменту появления на свет нового поколения (на стадии взрослой особи) предшествующее поколение прекращает свое существование. Для таких популяций постулат о неперекрывании поколений принимается безоговорочно — для иных популяций он может быть принят приблизительно.

Если же поколения популяции в значительной степени перекрываются или же значительная доля популяции на одной из стадий уходит в диапаузу, длительность которой превышает срок жизни одного поколения, допущение зависимости лишь от уже несправедливо.

Уже из этих замечаний ясно, что в исследовании многих популяций важно учитывать тот факт, что популяция естественно распадается на дискретные возрастные классы (или стадии развития), численности которых зависят от численностей предшествующих — а в отдельных случаях и всех остальных — возрастных классов. При этом задача описания динамики возрастного состава приводит к анализу также дискретной — в данном случае матричной — системы.

Какое поведение дискретных моделей (разностных уравнений и матричных систем) соответствует устойчивости популяции и каковы методы исследования и условия этой устойчивости? На эти вопросы мы постараемся дать ответ в настоящей главе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление