Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Циклы и «хаос» в решениях разностного уравнения

Решение уравнения (2.1), состоящее из конечного набора Т значений, повторяющихся в строгой последовательности (т. е. ), называется циклом длины Т (Т - точечным циклом или Т - циклом). На рис. 6, б изображен двухточечный цикл, на рис 6, в — четырехточечный цикл.

Чтобы выяснить, существуют ли среди решений уравнения (2.1) циклы, например, периода и найти эти циклы, следует искать решение, обладающее свойством

Ясно, что

Если рассматривать последовательность с шагом 2, то уравнение

вновь представляет собой разностное уравнение первого порядка, и для его исследования мы воспользуемся изложенным выше методом.

Цикл длины 2 возможен, если существуют два различных положительных корня системы уравнения

которые мы обозначим через . Очевидно, они находятся среди корней уравнения

Графически подобную ситуацию иллюстрирует рис. 6, а.

(см. скан)

Рис. 6. Циклическое поведение решений (2.4): а) диаграмма Ламерея для -точечного цикла б) -цикл в) -цикл .

Линеаризовав уравнение (3.1) в точке, например , и проверив условие (2.9), имеющее в данном случае вид

мы выясним, является ли предельной точкой для достаточно близких траекторий уравнения (2.1). По правилу дифференцирования сложной функции и с учетом (3.2) получаем

Легко видеть, что значение производной в другой точке цикла, совпадает с полученным выражением, т. е.

Таким образом, обе точки цикла одновременно либо являются, либо не являются предельными точками для траекторий уравнения.

Аналогично, при исследовании устойчивости цикла любого периода Т со значениями нас будет интересовать значение производной в этих точках Т-цикла. Так, для точки N имеем

Значения производной во всех остальных точках цикла совпадает с полученным выражением с точностью до порядка сомножителей; следовательно, все они одинаковы и равны

так что все точки Т-цикла могут лишь одновременно быть или не быть предельными точками для траекторий уравнения. Это обстоятельство послужило основанием для следующей терминологии,

Цикл называется притягивающим, отталкивающим или нейтральным, если соответственно

или

Очевидно, введенные определения аналогичны соответственно асимптотической устойчивости, неустойчивости и устойчивости неасимптотической.

Пример. Для уравнения (2.4)

и (3.2) приводит к уравнению

которое заменой переменных

сводится к

где

Число корней трансцендентного уравнения (3.7) выясняется графическим анализом (рис. 7). При существует лишь одно решение , которое соответствует глобальному устойчивому равновесию, найденному ранее. При существуют три точки пересечения прямой с кривой где . Проверка условий (2.10) и (3.4) показывает, что при решение неустойчиво, а точки

образуют притягивающий 2-цикл, когда

Последнее условие задает интервал значений

(3.9)

в котором точки образуют притягивающий цикл.

Рис. 7. Графическое решение уравнения (3,7): решение отыскивается как абсцисса точки пересечения прямой с кривой наклон касательной к кривой в точке равен

Поскольку равновесие при этом неустойчиво, отсюда следует, что траектории (2.4), начинающиеся достаточно близко от сходятся к этим точкам, т. е. реализуется устойчивый цикл длины 2. Глобальной устойчивости цикла строго говоря, не существует уже хотя бы потому, что решение к нему не стремится. Однако многочисленные расчеты показывают, что почти при всех начальных значениях и условии (3.9) траектории стремятся к циклу

При дальнейшем возрастании значений параметра встречаются устойчивые циклы периода (k — любое натуральное число).

Более тщательное исследование картины траекторий уравнения (2.4) при изменении параметра требует при влечения более сложных математических средств, а именно, аппарата теории динамических систем, теории бифуркации решений.

Подобное исследование проведено в последнее время; из его результатов, в частности, следует, что:

1) при каждом фиксированном значении среди всех решений может быть не более одного притягивающего цикла;

2) если существует притягивающий цикл периода , то почти при всех начальных значениях траектории стремятся к этому циклу;

3) если закон изменения численности популяции (2.1) не совпадает с законом (2.4), имеющим притягивающий цикл, но близок к нему (в некотором смысле), то асимптотическое поведение траекторий обеих систем одинаково, т. е. (2.1) также должно иметь притягивающий цикл;

4) для всякого существует такое , что (2.4) имеет притягивающий цикл периода

5) при возрастании в пределах некоторого ограниченного интервала ) происходят бифуркации решений: циклы периода сменяются циклами

Заметим, что подобное аналитическое исследование картины поведения решений имеет не только чисто теоретический интерес. Дело в том, что когда мы вычисляем траекторию любого разностного уравнения на ЭЦВМ, в силу ограниченности разрядной сетки результат будет отличаться от истинной траектории . Ясно, что в машине возможно лишь конечное — хотя и очень большое — число (где — размер разрядной сетки) различных значений Следовательно, начиная с некоторого достаточно большого момента t, мы неизбежно получим встречавшееся уже ранее значение т. е. последовательность будет периодичной — с достаточно большим периодом Т — независимо от того, является ли истинная траектория периодичной или нет. Аналитическое же исследование уравнений позволяет установить, насколько верно вычисляемая последовательность отражает характер истинной траектории

Наряду с равновесием и циклами можно выделить еще один тип поведения решений разностного уравнения.

Это так называемые хаотические траектории, т. е. непериодические последовательности и даже, более того, не стремящиеся ни к какому притягивающему решению (равновесию либо циклу). Оказывается, существует связь между наличием циклов периода 3 и существованием хаотических решений. Здесь доказана теорема, носящая общий характер. Она утверждает, что если уравнение (2.1) обладает трехточечным циклом, то оно имеет также и решения любого периода и, кроме того, существует несчетное множество начальных значений при которых решение не стремится ни к одному из этих циклов, т. е. хаотично. Таким образом, поведение решения такой системы принципиально зависит от начального значения

Пример. Для уравнения (2.4) трехточечный цикл ищется как

откуда числа а, b и с должны удовлетворять системе

Прологарифмировав каждое из уравнений (3.10) и сложив их почленно, получим соотношение

с использованием которого можно показать, что а является наименьшим положительным корнем трансцендентного уравнения

Графический анализ (3.11) показывает, что при существует 2 различных трехточечных цикла, а при трехточечных циклов нет. Таким образом, согласно вышесформулированному общему утверждению, решения уравнения (2.4) находятся в хаотическом режиме, когда (рис. 8).

Итак, на примере одного лишь уравнения (2.4) мы убедились, сколь разнообразными могут быть решения разностного уравнения.

Рис. 8. Хаотические режимы 3.7) при расходящиеся колебания возле неустойчивого равновесия попадают, начиная с в окрестность -цикла. Поскольку этот цикл неустойчив, в дальнейшем характер траектории обязательно сменится; б) ; хаотическая траектория без видимых «закономерностей».

Богатый спектр поведения траекторий содержит устойчивое равновесие, устойчивые циклы любой длины, а также хаотический режим с решающим значением начальных условий. По-видимому, успешное применение разностных уравнений к моделированию реальных популяций и объясняется отчасти этим богатством динамического поведения модельных траекторий.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление