Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Спектральные свойства оператора Лесли

Как уже отмечалось, поведение решений уравнений модели Лесли (4.5) во многом определяется спектральными свойствами матрицы L или же соответствующего оператора

Рассмотрим случай, когда оператор L является оператором простой структуры, т. е. имеет линейно независимых собственных векторов. Поскольку собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы, простая структура имеет место, когда все собственные числа оператора различны. В общем случае это условие не является необходимым: существуют линейные операторы простой структуры, у которых характеристический многочлен имеет кратные корни. Однако для оператора Лесли можно показать, что единичная кратность всех собственных значений является необходимым и достаточным условием простоты структуры.

Действительно, общим критерием простоты структуры линейного оператора А является условие, что все элементарные делители минимального многочлена матрицы А линейны. Минимальным многочленом матрицы А называется аннулирующий многочлен данной матрицы минимальной степени

(с коэффициентом единица при старшей степени). Известно что

где — наибольший делитель миноров порядка характеристической матрицы (коэффициент при старшей степени Я берется равным единице). Минор данной матрицы, построенный на последних строках и первых столбцах, имеет вид

и не содержит ; следовательно, и тогда

Отсюда, в частности,

т. е. минимальный многочлен матрицы Лесли совпадает с ее характеристическим многочленом. Его элементарные делители в поле комплексных чисел — это степени двучленов (), где — различные собственные числа L. Чтобы все они были первой степени, необходимо и достаточно, чтобы все собственных чисел были различны.

Итак, оператор Лесли имеет простую структуру в том и только в том случае, когда все его собственные значения различны.

Из условия (5.3) можно вывести еще несколько утверждений относительно оператора L. Тот факт, что размерность минимального многочлена L совпадает с размерностью всего пространства, означает, что пространство является циклическим относительно данного оператора, т. е. существует такой вектор , что векторы линейно независимы, а вектор линейно через них выражается. Таким вектором служит, например, вектор

Инвариантные многочлены, т. е. многочлены

( по определению), для матрицы Лесли имеют вид

Поскольку нормальная жорданова форма всякой матрицы показывает расщепление пространства на циклические подпространства, соответствующие элементарным делителям всех инвариантных многочленов, равенства (5.5) позволяют утверждать, что если спектр матрицы Лесли состоит из различных значений с кратностями то нормальная жорданова форма данной матрицы имеет ровно клеток, с размерами , и числами на главной диагонали. Таким образом одинаковые собственные значения сосредоточены в одной и той же жордановой клетке.

Итак, матрица Лесли может быть представлена в виде

где — жорданова клетка размера — имеет вид

В случае, когда все собственные числа различны, столбцы преобразующей матрицы Р представляют собой собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям. В общем случае — это векторы, образующие так называемый жорданов базис. Поскольку одинаковые собственные значения сосредоточены в одной и той же жордановой клетке, векторы этого базиса, соответствующие собственному значению кратности k, могут быть последовательно определены из соотношений

Произвольная функция от матрицы и, в частности, любая натуральная степень матрицы t определяются по ее значениям на спектре матрицы. Ясно, что

где степень жордановой клетки размера соответствующей собственному значению кратности k, при достаточно больших t имеет вид

Когда все собственные числа различны, формулы (5.9) и (5.10) упрощаются до

Формулы (5.9) — (5.10) позволяют вычислить возрастное распределение на любом шаге t и при любом начальном распределении а также исследовать асимптотическое поведение траекторий системы при , т. е. исследовать предел

Из (5.10) ясно, что если для всех , то

Если же существует , такое, что , то

Таким образом, нетривиальный предел (5.12) может сущет ствовать лишь в случае, когда максимальное значение модуля всех собственных чисел равно 1. В двух же предыдущих случаях представляет интерес исследование предела

где — максимальное по абсолютной величине собственное значение.

Теорема Перрона — Фробениуса для неотрицательных неразложимых матриц А утверждает

1) А имеет действительное положительное характеристическое число (максимальное характеристическое число), которое является простым корнем характеристического уравнения.

Если — любое другое характеристическое число матрицы А, то .

2) Существует положительный собственный вектор, соответствующий .

3) Если А имеет h характеристических чисел, по абсолютной величине равных, то все эти числа различны между собой и являются корнями уравнения ; h называется индексом импримитивности матрицы

4) Если — совокупность всех характеристических чисел матрицы А и , то с точностью до порядка совпадает с

Матрица Лесли с неразложима, следовательно, обладает максимальным собственным числом которое является простым корнем характеристического многочлена (4.8). Заметим, что согласно правилу знаков Декарта число является и единственным положительным корнем этого многочлена, так как в ряду его коэффициентов имеет место лишь одна перемена знака.

Существуют ли другие собственные числа, равные по модулю ? Известно, что индекс импримитивности матрицы равен наибольшему общему делителю чисел

где — степени всех ненулевых членов характеристического многочлена. В многочлене (4.8) коэффициент при некоторой степени не равен нулю, если Обозначим через номера всех тех возрастных групп, рождаемость в которых отлична от нуля, или, иными словами, индексы всех . Заметим, что в силу неразложимости Согласно (4.8) имеем

откуда

Итак, индекс импримитивности матрицы Лесли равен наибольшему общему делителю номеров тех возрастных групп, рождаемость в которых отлична от нуля. В частности, для примитивности матрицы Лесли достаточно, чтобы , либо чтобы рождаемость имела место в каких-нибудь двух последовательных группах, т. е. существовало такое что .

Поскольку жорданова форма определяется с точностью до перестановки клеток, L представима в виде

где собственных чисел, по модулю равных . При этом из соотношений вытекает, что первые h столбцов матрицы Р и первые h строк матрицы с точностью до множителей суть соответственно собственные вектор-столбцы и собственные вектор-строки, соответствующие значениям

Если обозначить через собственный вектор-столбец, а через собственный вектор-строку, соответствующие значению , можно показать, что

где

— «отрезки» характеристического многочлена p (Я):

Для любого комплексного числа выполняется соотношение

откуда при

Структура векторов (5.15) и (5.16), а также действительный множитель, стоящий перед ними, обеспечивают выполнение следующих условий для скалярных произведений:

Следовательно, первые столбцов матрицы Р и первые строк матрицы в выражении (5.17) суть соответственно .

Поскольку

из (5.10) вытекает, что для соответствующих жордановых клеток

Кроме того, из теоремы Перрона — Фробениуса следует, что

где

— примитивный корень степени из единицы.

Тогда для предела (5.13) с получаем

причем скорость сходимости согласно (5.10) определяется выражением

где — второе по абсолютной величине собственное значение L, k — кратность этого значения.

Вводя упрощающие обозначения

преобразуем предельную вектор-функцию

После подстановки (5.15) и (5.16) i-я компонента принимает вид

Когда кратно индексу импримитивности h, последняя сумма в предыдущем выражении равна в противном случае элементарные тригонометрические тождества показывают, что эта сумма обращается в нуль. Итак,

где суммирование производится по всем тем значениям k, которые отличаются от i — t на любое число, кратное h. В векторной форме

где

Формулы (5.21) — (5.22) позволяют установить ряд утверждений относительно асимптотического поведения траекторий модели Лесли.

Если матрица L примитивна, т. е. суммирование происходит по всем индексам k от 1 до и предельная функция не зависит, таким образом, от

Соотношение (5.23) представляет собой известный результат Лесли: для примитивной матрицы L предельное распределение пропорционально собственному вектору, соответствующему максимальному собственному значению причем коэффициент пропорциональности — обозначим его через — линейно зависит от координат начального распределения х.

Теорема (о среднем циклическом). Пусть h — индекс импримитивности матрицы L. Тогда

где

Доказательство. Согласно (5.20) i-я координата предельной функции для вектора, стоящего в левой части (5.24), имеет вид

Множество значений индекса k, возникающее при двойном суммировании в (5.25), определяется, очевидно, как

Покажем, что не зависит от i, t и попросту совпадает с набором . Действительно, пусть — некоторое число из этого набора. Разделим число на

Если остаток то число также делится на h без остатка, . Если , то без остатка делится на h число , т. e. снова

Покажем, теперь, что каждое значение k встречается в двойной сумме (5.25) только один раз. Если существует пара индексов таких, что

то

откуда (поскольку сами индексы не превосходят )

Итак,

и сумма (5.25) есть не что иное, как

что и требовалось.

Приведем без доказательства еще два асимптотических свойства.

Теорема (о периодичности). Пусть h — индекс импримитивности L. Тогда предельная вектор-функция периодична по t с периодом

где I пробегает значения 1, 2, h и — несократимая дробь (для )

Таким образом, Т является делителем индекса импримитивности h и зависит от начального распределения численностей

В частности, у примитивной матрицы и, следовательно, все откуда и их наименьшее общее кратное Таким образом, предельная функция постоянна по t, что, впрочем, вытекает и непосредственно из (5.23). Каково асимптотическое поведение общей численности популяции когда асимптотически периодично? Ясно, что

и если T — период , то

Значит, истинный период во всяком случае должен быть делителем Т. Условия, при которых он совпадает с Т, устанавливает

Теорема (о периоде общей численности). Период общей численности асимптотического распределения совпадает с периодом тогда и только тогда, когда выполнены условия

Простыми достаточными условиями для выполнения (5.27) служат

или

Теоремы о периодичности показывают, что поведение траекторий принципиально зависит от выбора временного масштаба: избежать цикличности в модельных траекториях можно, например, укрупнив временные интервалы так, чтобы возрастные группы с ненулевой рождаемостью оказались соседними.

С другой стороны, для организмов, жизненный цикл которых заканчивается единственным репродуктивным актом (semelparity), модель Лесли может дать только циклические (асимптотически) траектории

Как уже отмечалось, нетривиальное предельное распределение возможно лишь в случае, когда максимальное собственное число т. е. (поскольку является единственным положительным корнем характеристического многочлена) когда

Когда же это условие нарушено, простейший гипотетический способ добиться его выполнения состоит в пропорциональном изменении всех рождаемостей, т. е. в такой замене

что

С увеличением чисел значение возрастает и, наоборот, убывает при уменьшении

Из (5.28) коэффициент пропорциональности

Величина R служит обобщенным параметром скорости воспроизводства всей популяции, некоей мерой стабиль ности. Если R = 1, то и популяция не вымирает и не растет экспоненциально, а стремится к предельному распределению. Случаи означают соответственно, что , т. е. согласно (5.18) и (5.21) йопуляция. вымирает либо безгранично растет.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление