Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Классификация устойчивых решений

Выясняя вопрос о существовании устойчивых траекторий в линейной динамической системе

задаваемой матрицей Лесли, начнем, как и в случае одного разностного уравнения (§ 2), с рассмотрения простейших типов решения — равновесия и циклов.

Равновесие, т. е. решение, обладающее свойством ,

есть не что иное, как собственный вектор L, соответствующий максимальному собственному значению — положительный по теореме Перрона — Фробениуса. В силу линейности модели при возмущении равновесного состояния на величину

динамика отклонения определяется исходной матрицей L:

Разлагая по векторам жорданова базиса, легко убедиться, что на конечном числе шагов t малость отклонения обеспечивается достаточной малостью начального отклонения. Следовательно, свойства локальной устойчивости определяются в конечном счете асимптотическим поведением , которое при описывается предельной функцией . Как видно из (5.20), выбором достаточно малого предельная функция может быть сделана сколь угодно близкой к нулю. Тем самым удовлетворяется формальное определение локальной устойчивости по Ляпунову. Таким образом, если равновесие существует то оно локально устойчиво. Заметим, что асимптотической устойчивости в этом случае быть не может, поскольку при всяком конечном предельная функция отлична от нуля.

Все вышесказанное обобщается на случай любой траектории . Действительно, при

Таким образом, когда всякое решение неустойчиво.

При любое решение локально неасимптотически устойчиво. Точнее говоря, если матрица L примитивна, то имеет при предел, пропорциональный равновесному состоянию с коэффициентом пропорциональности, линейно зависящим от координат начального распределения. Если же индекс импримитивности то всякое, отличное от равновесия решение стремится к периодичной предельной функции, период которой является делителем числа h и зависит от начального распределения (см. (5.26)). Отклонение от этого решения — малое при достаточно малом — также асимптотически периодично со своим периодом.

При любое решение глобально асимптотически устойчиво, что является попросту отражением общей картины поведения траекторий: все траектории стремятся к нулевому распределению.

Возможны ли чисто циклические траектории, или циклы, в модели Лесли? Если вектор принадлежит циклу периода k, то для него должно выполняться условие

Значит, является собственным вектором матрицы L с собственным значением . То же справедливо и для всех остальных векторов, образующих -цикл. Поскольку собственные числа равны , где — собственные числа L, то единичное собственное значение возможно лишь при наличии в спектре L корней степени из 1. Ясно, что при этом . Поскольку соответствуют неустойчивые траектории, ограничимся случаем Тогда все корни, по модулю равные 1, удовлетворяют уравнению следовательно, означает, что числа k и h имеют общие делители. Ниже будет показано, что в действительности длина цикла k является делителем числа

Если матрица L примитивна, то любая натуральная ее степень неразложима и примитивна, и по теореме Перрона — Фробениуса имеет максимальный корень единичной кратности.

Значит, векторы образующие -цикл, принадлежат одному и тому же положительному собственному направлению, т. е.

По смыслу цикла

откуда является собственным вектором L с собственным значением Так как единственным положительным собственным значением L является , то

Аналогичными рассуждениями получается цепочка равенств

т. e. наш -цикл на самом деле — просто равновесие. Для примитивных матриц Лесли с циклы невозможны.

Тот же результат вытекает и из других соображений. Поскольку всякое начальное распределение при стремится к предельной вектор-функции которая постоянна по t в примитивном случае, циклы в данном случае не могут иметь места.

Когда же индекс импримитивности периодическая предельная функция сама образует точный цикл. Действительно, в силу (5.19) и поскольку ,

Длина этого цикла определяется, очевидно, периодом Т функции , который по теореме предыдущего параграфа является делителем числа h.

Если бы в системе (6.1) существовал истинный цикл длины k, отличной от делителей h, то траектория, начинающаяся с одного из векторов данного цикла должна была бы стремиться к . Тогда период должен быть делителем h, и мы получаем противоречие.

Таким образом, для матрицы Лесли возможны циклы лишь такой длины k, которая является делителем индекса импримитивности h.

Все эти циклы принадлежат подпространству собственных векторов матрицы соответствующему максимальному собственному значению 1 кратности h. Обозначим это подпространство через . Так как геометрическая кратность собственного значения любой матрицы не превосходит его алгебраической кратности, то

С другой стороны, из соотношения (6.3) и теоремы о периодичности вытекает, что для любого начального вектора

т. e. пространство всевозможных векторов принадлежит :

Но, как явствует из (5.19), векторы представляют собой линейную комбинацию собственных векторов матрицы L, которые соответствуют различным собственным значениям и потому линейно независимы. Значит,

что вместе с условиями (6.4) и (6.5) означает совпадение обоих пространств:

Итак, истинные циклы в системе (6.1) с импримитивной матрицей L — это траектории, образованные векторами вида с периодом, делящим h и зависящим от в соответствии с (5.26). Заметим, что в пространстве содержатся и циклы длины 1, т. е. равновесия. Это не что иное, как векторы, принадлежащие собственному направлению для собственного значения , т. е. пропорциональные . Действительно, если

то с учетом (5.17) имеем

В частном случае, когда имеет место равенство

где — тождественная матрица. Это значит, что любой вектор X переходит за шагов в себя, т. е. принадлежит некоторому циклу длины, равной или какому-то делителю . Матрицы L, обладающие свойством (6.8), соответствуют жизненному циклу с однократным репродуктивным актом, после которого родители погибают. Пример такого рода дает матрица

(6.9)

рассматривавшаяся Г. Бернаделли как модель «популяционных волн».

Что касается хаотических режимов, т. е. таких траекторий , которые не постоянны, не периодичны и не стремятся ни к постоянному распределению, ни к циклу, то невозможность подобных траекторий в системе (6.1) при вытекает из существования для любого предельной функции которая либо постоянна, либо периодична. Когда все траектории стремятся к нулю. Когда же не существует предела для однако есть предел для .

и «хаос» в данном случае имеет довольно упорядоченную структуру: траектории стремятся к предельной вектор-функции, увеличиваемой в раз с каждым шагом по времени.

Пример. Рассмотрим гипотетическую популяцию, состоящую из возрастных групп, которые выбраны таким образом, что рождаемость есть лишь в 3-й и 6-й группах. Пусть

а выживаемости таковы, что

Характеристический многочлен

максимальное собственное число

индекс импримитивности

значит, в системе возможны лишь равновесия и -циклы; при этом

Собственные вектор-строки в соответствии с (5.16):

Собственные вектор-столбцы:

Всякое распределение численностей, пропорциональное вектору остается неизменным на каждом шаге. Любое другое распределение стремится со временем к -циклу, образованному векторами . Пусть начальное распределение по группам одинаково и равно, например,

Тогда

Итак, траектория, начинающаяся с стремится к -циклу на векторах

Скорость сходимости равна т. е. за 6 поколений разница между начальным и предельным распределением уменьшается примерно в 10 раз, за 12 поколений — примерно в 100 раз и т. д.

Условия (5.27) соблюдены, и общая численность N (t) также стремится к -циклу по значениям 130, 176, 156.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление