Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. О предельных циклах в системе хищник — жертва

В настоящее время не существует какого-либо общего метода нахождения предельных циклов. Даже для такой достаточно простой системы, как (2.1), не удается провести общее исследование при более или менее произвольном выборе вида трофической функции Поэтому мы несколько упростим задачу, предположив, что рассматриваемая система достаточно близка к классической вольтерровской (в каком смысле, будет ясно ниже).

Прежде чем переходить к поиску предельных циклов, сделаем замену переменных

Здесь — нетривиальное равновесие системы, задаваемое уравнениями (5.2). Вместо мы будем использовать функцию

В классической вольтерровской модели . Предположение о близости рассматриваемой дели к вольтерровской означает, что можно представить в виде

где — некоторый малый параметр, а ограничена и имеет конечную производную.

Переход от и смысл малого параметра наглядно показан на рис. 15. На рис. 15, а изображена трофическая функция типа рис. — равновесные значения численности жертвы, соответствующие двум различным значениям отношения Прямая соответствует классической модели.

Рис. 15. Переход от выбран конкретный вид трофической функции заданной строится которая имеет максимум в точке ; в) для двух значений аргументов соответствующих двум различным стационарным точкам, строятся функции

Очевидно, что при достаточно больших разница между и прямой может быть значительной, так что, даже если при малых близки, говорить о близости двух трофических функций следовательно, близости двух моделей) нельзя. Но переход от к функции (см. рис. 15, б) снимает это возражение, поскольку для классической модели и разность остается ограниченной при любых . Переход от и, далее, к существенным образом зависит от координаты стационарной точки

На рис. 15, а указаны две стационарные точки: Поэтому на рис. 15, б изображены две функции соответствующие одной функции но двум разным стационарным значениям

Очевидно, что максимумы этих функций определяют максимальные отличия от 1, и, следовательно, параметр можно оценить следующим образом:

или, возвращаясь к старым переменным:

Если эта величина достаточно мала, то параметр действительно является малым, а модели близкими. Характерно, что величина зависит от стационарного значения т. е. близость моделей определяется не только видом трофической функции, но и всеми другими параметрами. Переходя в (2.1) к новым переменным, получим

При система (6.4) переходит в классическую, которая имеет интеграл (в новых переменных)

Поэтому (6.4) можно записать в виде

При достаточно малых система (6.5) близка к гамильтоновой. Для этого случая Л. С. Понтрягиным доказана замечательная теорема, которой мы и воспользуемся (см. § 11).

В плоскости вольтерровские кривые центром в точке (0, 0) являются замкнутыми.

Поэтому криволинейный интеграл

зависит только от величины . Тогда, если существует такое , что

то существуют положительные числа и б такие, что:

а) для любого система (6.5) имеет в - окрестности кривой предельный цикл, стягивающийся к этой кривой при

б) этот предельный цикл является грубым и притом устойчивым, если и неустойчивым, если

Эта теорема устанавливает лишь существование таких значений , при которых система имеет предельный цикл, но не дает никаких оценок.

Нам удобнее вместо криволинейного интеграла (6.6) рассматривать эквивалентный ему интеграл по области заключенной внутри вольтерровской кривой

или, в старых переменных,

где — область, ограниченная вольтерровским циклом (2.3) с центром в точке .

Очевидно, что для выполнения условия необходимо, чтобы производная функции меняла знак на отрезке , где — крайние левая и правая точки некоторого вольтерровского цикла. На рис. 16 изображены графики соответствующих производных для трех типов трофических функций. Из этих графиков видно, что необходимое условие существования предельного цикла выполняется только для трофической функции типа изображенной на рис. 11, в.

К сожалению, сформулированное выше необходимое условие не является достаточным (получить последнее в общем виде нам не удалось).

Рис. 16. Три типа трофических функций и соответствующие им функции . Из этих графиков видно, что только в случае в) функция меняет знак при изменении .

Однако, если предположить, что искомый предельный цикл лежит в малой окрестности стационарной точки, то можно получить уравнение этого цикла и проанализировать его устойчивость.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление