Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. О поведении траекторий в бесконечности

Поскольку при , то при исследовании поведения траекторий системы хищник — жертва при больших значениях численности жертвы вместо системы (2.1) можно рассматривать близкую к ней систему

Интеграл (8.1) имеет вид

Построив семейства кривых (8.2) на фазовой плоскости (рис. 18), можно видеть, что характер поведения траекторий (8.1) различен при и

Если при ни одна из траекторий не уходит в бесконечность, то при такие траектории появляются. Содержательно этот результат можно интерпретировать следующим образом. Максимальная скорость прироста жертвы равна а, а хищника —

Рис. 18. Фазовые траектории системы (8.1): а) при при — куски траекторий при достаточно больших таких, что , и система (8.1) близка к же для малых когда систему (8.1) нельзя считать близкой к (2.1); трофическая функция она приведена на этом графике для того, чтобы показать, когда можно считать большими.

Эти величины обычно называются биотическими потенциалами жертвы и хищника соответственно. Тогда, если биотический потенциал жертвы превосходит потенциал хищника, то при определенных начальных условиях численность популяции жертвы может неограниченно и монотонно возрастать — популяция жертвы как бы ускользает от хищника. Соответственно неограниченно и монотонно, но с меньшей скоростью растет и численность популяции хищника. Заметим, что такое «ускользание» жертвы от хищника хорошо известно в экологии (например, в популяциях насекомых).

Если теперь сравнить условие «ускользания»

с условиями существования устойчивого предельного цикла

то легко видеть, что области, определяемые этими неравенствами в плоскости параметров b и пересекаются (рис. 19). Наличие такого пересечения с очевидностью говорит о существовании в системе по крайней мере второго предельного цикла (причем неустойчивого).

Рис. 19. Область «ускользания» при наличии предельного цикла.

В заключение необходимо уточнить, когда и в каком смысле можно говорить о близости систем (2.1) и (8.1) при больших . Здесь естественно использовать понятия «грубости» (в смысле Андронова — Понтрягина). Не останавливаясь на подробностях доказательства, можно утверждать, что если в области

нет стационарных точек системы (2.1), то системы (2.1) и (8.1) близки в области Q. Близость понимается в следующем смысле: для любого можно указать такое , что если норма меньше, , то . Здесь — точки траекторий (2.1) и (8.1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление