Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Поведение системы хищник — жертва в случайной среде

Случайные изменения среды обычно приводят к случайным изменениям параметров системы, в частности, коэффициентов естественного прироста жертвы а и естественной смертности хищника т. Математически задача сводится К исследованию поведения описанного в предыдущих пара графах нелинейного осциллятора при случайных колебаниях его параметра.

Здесь возникает вопрос о параметрических резонансных режимах, для исследования которого вполне применим метод Крылова — Боголюбова. Проблема эта не решена и ждет своего исследователя, а мы рассмотрим здесь более скромную задачу — о поведении линеаризованной системы, поведении в малой окрестности стационарного состояния.

Пусть система хищник — жертва описывается уравнениями (3.1). Это означает, что в популяции жертв существует саморегулирование (посредством внутривидовой конкуренции), а в самой системе может существовать устойчивое нетривиальное равновесие . Линеаризируя (3.1) около этого состояния, получим

или, делая замену :

Легко видеть, что из условия следует Предположим, что параметр зависящий от коэффициентов естественного прироста жертв и естественной смертности хищников, можно представить в виде

где — значение этого параметра в отсутствие случайных возмущений, а — некоторый случайный процесс, выбираемый не только по принципу простоты, но и в известной степени отражающий реальную ситуацию.

Пусть характерный временной масштаб процесса изменений внешних условий равен . В течение этого промежутка можно считать условия среды постоянными. Значение параметра характеризующего условия среды на данном отрезке, будем считать реализацией некоторой случайной величины, распределенной нормально со средним (тогда ) и дисперсией

На следующем отрезке значение также является реализацией этой случайной величины, причем эта реализация никаким образом не связана с реализацией на предыдущем отрезке. Тогда, если мы рассматриваем поведение системы на отрезке , то в качестве статистической модели можно выбрать так называемый «дельта-коррелированный» гауссовский процесс с нулевым средним и корреляционной функцией . Здесь — обозначение дельта-функции.

Нас будет интересовать поведение статистических характеристик решения (9.2), в частности, динамика моментов (Здесь символ ) означает операцию осреднения по ансамблю реализаций ). Но прежде, чем переходить к этой задаче, сделаем в (9.2) следующую замену переменных:

Если коэффициент внутривидовой конкуренции достаточно мал, то . Тогда вместо (9.2) будем иметь

Не нарушая общности, начальные условия можно задать в виде

Применяя операцию осреднения к (9.3), получим

и для вторых моментов

с начальными условиями

Системы (9.4) и (9.5) не замкнуты относительно моментов, так как содержат новые неизвестные функции которые являются корреляциями случайной величины Z с решениями системы (9.3) и с функциями от этих решений. А эти решения, в свою очередь, являются функционалами от Z. Однако в случае дельта-коррелированного гаусовского процесса эти корреляции расщепляются.

Приведем без вывода одну важную формулу из теории случайных процессов:

Здесь — некоторый функционал от — его вариационная производная, — дельта-коррелированный процесс с . В нашем случае Тогда

Поскольку процесс дельта-коррелирован, то статистическая зависимость определяется зависимостью производных по времени этих величин от Z. Не останавливаясь на подробностях доказательства, можно записать

И окончательно, с учетом (9.7) и (9.8), системы уравнений (9.4) и (9.5) будут иметь вид

Если решение (9.9) совпадает с решением (9.3) при отсутствии случайных флюктуаций, то решение (9.10) содержит растущие со временем члены (типа при ). Возвращаясь к переменным можно сказать, что моменты будут со временем возрастать, если или

Это означает, что при выполнении условия (9.11) в системе происходит статистическая параметрическая раскачка за счет флюктуаций условий среды, и устойчивое в отсутствие этих флюктуаций равновесие становится неустойчивым.

При малых v выражение (9.11) можно записать в виде

откуда сразу следует, что параметрическая раскачка может происходить не только при больших амплитудах флюктуаций, но, например, и при высоком репродуктивном потенциале жертв или при малой естественной смертности хищника. В классической модели параметрическая раскачка всегда имеет место, т. е. можно сказать, что состояние равновесия в классической модели всегда статистически неустойчиво.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление