Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Диссипативность и устойчивость матрицы сообщества

Что можно сказать об устойчивости вольтерровских систем общего вида ? Если априори не накладывать никаких ограничений на квадратичную форму, определяемую через матрицу сообщества Г, то содержательные утверждения относительно устойчивости равновесия N могут быть получены лишь путем линеаризации и анализа спектра соответствующей матрицы. Для локальной асимптотической устойчивости N достаточно, чтобы матрица , где была устойчивой, т. е. чтобы весь ее спектр в комплексной плоскости лежал слева от мнимой оси. Заметим, что элементы этой матрицы зависят как от структуры взаимодействий (матрицы ), так и от равновесных значений , которые при заданной Г определяются величинами , т. е. характеристиками, присущими отдельным видам вне взаимодействия.

Устойчивость равновесия выступает, таким образом, как свойство и совокупности видовых отношений в сообществе, и набора характеристик отдельных видов. А что можно сказать о матрице Г, если потребовать, чтобы устойчивость определялась только совокупностью видовых отношений и не зависела от показателей собственного естественного прироста или убыли видов? Иными словами, какой должна быть матрица Г, чтобы устойчивость N определялась только ее свойствами и сохранялась при любых допустимых значениях

Поскольку подходящим выбором всегда можно добиться любых, наперед заданных значений (система единственным образом разрешима относительно ), вышесформулированное требование означает, что матрица должна быть устойчивой при любых значениях или, иными словами, матрица —Г должна сохранять устойчивость при умножении ее слева на любую диагональную матрицу D с положительными элементами. Такое свойство матриц в математической экономике было названо Д-устойчивостью.

Содержательность понятия Д-устойчивости подтверждается тем фактом, что возможны устойчивые матрицы, не обладающие Д-устойчивостью . Известны следующие условия Д-устойчивости.

Необходимое условие. Если - устойчива, то все ее миноры четного порядка неотрицательны, а нечетного порядка — неположительны, причем имеются ненулевые главные миноры каждого порядка.

Достаточное условие. Если существует такая положительная диагональная матрица В, что матрица отрицательно определена, то матрица А Д-устойчива.

Д-устойчивой является, например, симметричная отрицательно определенная матрица А, так как в качестве В для нее можно взять матрицу 1/2.

Более того, Д-устойчивой является и матрица — Г любой диссипативной системы (2.1). Действительно, по определению диссипативности существует такая матрица с положительными что квадратичная форма положительно определена . А это, в свою очередь, эквивалентно положительной определенности (симметричной) матрицы

откуда следует, что в качестве В для матрицы —Г может быть взята матрица т. е. для —Г выполняется достаточное условие Д-устойчивости.

В том, что класс Д-устойчивых матриц не исчерпывается диссипативными системами, легко убедиться на примере матрицы —Г второго порядка со знаковой структурой

которая Д-устойчива, но не может быть диссипативной, коль скоро содержит нулевой элемент на главной диагонали (см. условие (3.10)). С помощью Д-устойчивости определяется следующее более сильное свойство матриц: матрица А называется вполне устойчивой, если любая ее главная подматрица Д-устойчива. Из этого определения непосредственно вытекает, что любая главная подматрица вполне устойчивой матрицы также вполне устойчива. Следовательно, для сообществ полная устойчивость интерпретируется очевидным образом: сообщество, остающееся после исключения из структуры взаимодействий любой совокупности видов, также сохраняет полную устойчивость.

Необходимое условие полной устойчивости матрицы А состоит в том, чтобы все главные миноры А четных порядков были положительны, а нечетных порядков — отрицательны. Условие вытекает из того, что главные миноры суть определители устойчивых главных подматриц.

Интересно выяснить, в каком соотношении находятся между собой свойства полной устойчивости матрицы —Г и диссипативности системы (2.1) с матрицей Г.

Заметим, что хотя определения § 3 были даны для систем уравнений, свойства консервативности и диссипативности являются по существу лишь свойствами соответствующих матриц Г и могут быть сформулированы непосредственно для матриц. Так, матрицу А будем называть диссипативной, если существует такая положительная диагональная матрица , что положительно квазиопределена, т. е. форма положительно определена (или же ) отрицательно определена); очевидным образом формулируется и консервативность матрицы

Прежде, чем выяснять связь между диссипативностью и полной устойчивостью, покажем, что если некоторая матрица А устойчива, Д-устойчива или диссипативна, то соответствующим свойством обладают и матрицы АТ и

Действительно, спектры матриц совпадают, а собственные числа равны , где — собственное число А. Далее, если при любой D устойчива матрица , то устойчива и подобная ей матрица , и транспонированная к последней т. е. матрица Д-устойчива. В этом случае устойчива также и матрица откуда следует Д-устойчивость Наконец, если диссипативна, то найдется такая диагональная матрица 31, что форма

отрицательно определена; это дает диссипативность матрицы . В силу диссипативности найдется такая матрица , что форма

отрицательно определена, откуда следует диссипативность

Если в знакоопределенной квадратичной форме некоторые переменные положить равными нулю, то форма по-прежнему будет знакоопределенной относительно оставшихся переменных. Таким образом, любая главная подматрица диесипативной матрицы сама диссипативна и, следовательно, Д-устойчива, откуда получаем, что всякая диссипативная матрица является вполне устойчивой.

Из всех предыдущих рассуждений вытекает следующая картина соотношения свойств устойчивости матрицы А:

Возвращаясь к матрице сообщества —Г для вольтерровской системы (2.1), можно сказать, что первых трех свойств диаграммы (5.1) достаточно для (асимптотической, по Ляпунову) устойчивости равновесия тогда как из одной лишь устойчивости —Г такого вывода сделать нельзя: при одних значениях равновесие может быть устойчивым, при других — нет.

Существует, однако, целый класс матриц, для которых все свойства диаграммы (5.1) эквивалентны. Это так называемые нормальные матрицы — матрицы, обладающие свойством (в действительном случае ). Нормальными являются, например, симметричные и антисимметричные матрицы, или, на языке сообществ, матрицы конкуренции с обоюдоодинаковым влиянием видов и матрицы сообществ, состоящих только из видов хищник — жертва без самолимитирования и с одинаковыми абсолютными значениями и

Нормальная действительная матрица может быть приведена к диагональному виду унитарным преобразованием подобия

где — собственные числа А. Тогда

т. е. вещественные части собственных чисел нормальной матрицы равны собственным числам (симметричной) матрицы

Если нормальная матрица устойчива, то и матрица отрицательно определена. Значит, Л диссипативна, откуда и вытекает эквивалентность всех определений устойчивости диаграммы (5.1) для нормальных матриц.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление