Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Условия существования незамкнутой трофической цепи фиксированной длины

Проблема устойчивости равновесного состояния сводится к исследованию собственных значений матрицы системы (2.4), линеаризованной в окрестности этого состояния. Но прежде чем приступить к этой задаче, мы докажем одно полезное утверждение.

Пусть нам задана матрица порядка следующего вида (так называемая якобиева матрица):

где все и - положительны, неотрицательны. Тогда ЗОГ, соответствующий якобиевой матрице (см. § 6 гл. IV), имеет вид, изображенный на рис. 29.

Рис. 29. ЗОГ, соответствующий матрице Штриховые стрелки реализуются при и исчезают при

В этом графе:

1) все противоположно направленные ребра имеют противоположные знаки (апау

2) отсутствуют ориентированные циклы длины более 2;

3) все вершины составляют одно хищное сообщество, которое, как нетрудно убедиться, нарушает черно-белый тест в любом варианте реализации штриховых стрелок (любом наборе ), и, наконец,

4) разбиение на циклы, соответствующее ненулевому члену определителя задается вершинами когда q четное, и вершинами , когда q — нечетное.

Таким образом, матрица удовлетворяет достаточным условиям знак-устойчивости (§ 7 гл. IV), т. е. устойчива при любых значениях .

Возвращаясь к нашей задаче, мы видим, что матрица линеаризованной в окрестности состояния равновесия системы (2.4) имеет следующую структуру:

где — якобиева матрица типа (5.1) с элементами

Собственные значения F равны

Очевидно, что при выполняется условие . Поскольку , то для отрицательности достаточно выполнения неравенства

Если , то условие (5.3) становится излишним: при цепь длины всегда устойчива.

Так как при все также положительны, то и Следовательно, и если выполнено неравенство (5.3), то равновесие асимптотически устойчиво.

Используя явное выражение для из (3.5) и (3.6), неравенство (5.3) можно записать в виде

или

И окончательно, с учетом предыдущего обозначения и неравенств (3.7), (3.7), необходимым и достаточным условием существования незамкнутой трофической цепи длины q является ограничение (сверху и снизу) скорости поступления внешнего ресурса в экосистему.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление