Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Ветвящиеся трофические цепи

При исследовании реальных экосистем мы зачастую сталкиваемся с ситуацией, когда на каком-то трофическом уровне цепь разветвляется, и далее идут уже две (или более) различные цепи (рис. 34). Что в этом случае можно сказать об устойчивости таких структур?

Пусть разветвление цепи на две (это ограничение не принципиально — можно и больше) происходит на уровне. Цепь, начинающуюся непосредственно с внешнего ресурса, будем считать главной (ее длина равна q), а другую (длины , начинающуюся после ветвления) — боковой. И пусть параметры системы таковы, что существует нетривиальное равновесие типа

При этом мы предполагаем, что условия типа всегда выполнены. Эти условия ограничивают сверху длины обеих цепей.

Рис. 34. Схема ветвищейся трофической цепи: — главная цепь; — боковая цепь.

Линеаризованные в окрестности равновесного состояния уравнения можно записать в виде:

Здесь — якобиевы матрицы (порядков ) того же типа, что и в — вектор-столбец, все компоненты которого равны нулю, за исключением , равной единице, Компоненты вектора — отклонения численностей от своих равновесных значений в боковой цепи; где — трофическая функция видов 1-го уровня боковой цепи, зависящая от численности (или биомассы) s-го уровня главной:

Функцию Ляпунова снова будем искать в виде

где — диагональные матрицы с элементами . Вычисляя производную этой функции, получим

где

а должны удовлетворять матричному уравнению Ляпунова. Если теперь положить (как в § 9)

(10.4)

где — положительные произвольные числа, то и и должны быть диагональными положительными матрицами. Выберем таким образом, чтобы

или

Тогда способом, аналогичным изложенному в § приводится к сумме квадратов, и достаточным условием отрицательной определенности будет выполнение неравенства

Далее, поступая так же, как и в § 9, мы получим достаточное условие устойчивости ветвящейся трофической цепи в виде

где

Если левая часть этого неравенства не зависит от параметров боковой цепи, то его правая часть увеличивается при появлении этой цепи. Это можно интерпретировать таким образом, что ветвление цепи приводит к уменьшению области устойчивости и тем самым к снижению устойчивости всей системы. Однако, если боковая цепь незамкнута, т. е. то ветвление не меняет устойчивости цепи.

И наконец, если все равны нулю (за исключением, может быть, но в этом случае достаточно, чтобы то ветвящаяся цепь всегда устойчива (состояние равновесия устойчиво асимптотически). Доказывается это так же, как и для цепи без ветвления.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление