Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Метод линейного программирования в исследовании матрицы конкуренции

Как отмечалось в § 3, одной лишь специальной структуры (3.1) матрицы конкуренции еще не достаточно для ее положительной определенности и, следовательно, диссипативности конкурентного сообщества. Для матрицы Л не удается выписать значения собственных чисел в общем виде или же доказать без ограничения общности их положительность с помощью критериев локализации типа кругов Гершгорина, овалов Кассини и т. д.

Рис. 39. Схема кольцевого расположения экологических ниш.

Введем следующее ограничение на характер убывания коэффициентов конкуренции по мере удаления видов друг от друга в пространстве ресурса. Допустим, что убывающая функция целочисленного аргумента а удовлетворяет условиям строгой выпуклости:

Ниже будет доказана следующая

Теорема 2. Матрица с коэффициентами удовлетворяющими условиям (5.1), положительно определена.

Предварительно рассмотрим специальный случай расположения ниш, изображенный на рис. 39, — быть может, несколько искусственный, но полезный для целей дальнейшего анализа. Ясно, что при этом коэффициенты конкуренции какого-либо одного вида с остальными вначале убывают до определенного момента, затем возрастают в обратной последовательности.

Обозначая и полагая запишем матрицу конкуренции кольцевого сообщества в виде

Матрица является циклической и симметричной, а ее подматрица , образованная первыми строками и столбцами, соответствует сообществу с обычной горизонтальной структурой. Ясно, что матрица А симметрична тогда и только тогда, когда симметричен циркулянт Заметим, кстати, что любой симметричный циркулянт порядка определяется однозначно набором первых элементов первой строки и имеет при этом структуру (5.2).

Поскольку сумма элементов в каждой строке одинакова, положительная стационарная точка N при равных правых частях системы уравнений будет иметь равные компоненты

Согласно (3.10) собственные числа есть

причем, как нетрудно убедиться,

Для доказательства положительной определенности требуется, таким образом, проверить выполнение условий

при ограничениях

Заметим, что в левой части неравенства (5.5) стоит линейная функция переменных , а ограничения (5.6) и (5.7) того же типа, что и ограничения в задачах линейного программирования, с той лишь разницей, что последние представляют собой нестрогие неравенства. Обозначим

Тогда ясно, что и

Задача минимизации на множестве Q представляет собой типичную задачу линейного программирования, и ниже методами этой теории будет показано, что, во-первых,

во-вторых, этот минимум не достигается ни в одной точке открытого множества и, в-третьих,

Для того чтобы свести минимизацию к задаче линейного программирования в стандартной форме, введем новые переменные которые связаны с исходными а, - по формулам

Тогда из условий (5.7) следует

а из условия получается Окончательно, получаем задачу линейного программирования в стандартном виде: найти минимум линейной формы при одном ограничении-равенстве

и ограничениях-неравенствах

Известно что решение задачи линейного программирования достигается в одной или нескольких вершинах симплекса , определяемого условиями причем в последнем случае решением является и любая точка выпуклого множества, натянутого на вершины, которые доставляет минимум линейной формы.

В пространстве переменных вершины симплекса имеют следующие координаты:

а в пространстве переменных с учетом формул (5.9) -

Очевидно, значение в вершине есть

а в вершинах

где принято обозначение

Методом полной математической индукции можно показать, что при всех допустимых значениях справедливо

с учетом чего выражение (5.13) преобразуется к виду

(Заметим, что знаменатель в (5.15) не обращается в нуль ни при каком из значений Из (5.15) видно, что при

а для имеем

Далее

при всех .

Подытоживая (5.12) и (5.16) — (5.18), получаем, что , и достигается этот минимум при нечетных k в единственной точке а при четных k — еще и в вершине втором случае, согласно теории линейного программирования, и в любой точке отрезка I, соединяющего вершины

Таким образом,

и минимум достигается на отрезке . Любая точка

этого отрезка записывается в виде

с координатами, линейно убывающими с ростом их порядкового номера.

Это значит, что всюду на отрезке I условия (5.7) превращаются в равенства, т. е. I целиком принадлежит границе и Отсюда следует, что для любой точки открытого множества , т. е. для любого набора удовлетворяющего строгим неравенствам (5.6) — (5.7), собственные числа циркулянта есть

поскольку а все точки , в которых принадлежат I.

С другой стороны, из непрерывности по переменным следует, что

т. е. в положительном спектре (5.4) матрицы выбором коэффициентов всегда можно получить сколь угодно малое собственное значение.

Теперь можно доказать утверждение теоремы 2 на стр. 241. Обозначим через Я (вещественные) собственные числа матрицы А. Заметим, что матрицы А и удовлетворяют условиям теоремы Штурма об отделимости собственных значений откуда следует, что во всяком случае

А поскольку доказано, что все положительны, то из (5.19) вытекает положительность спектра , что и требовалось доказать.

Таким образом, когда в конкурентной структуре (3.1) убывание коэффициентов конкуренции имеет выпуклый характер, т. е. происходит достаточно плавно, матрица А положительно определена и сообщество диссипативно. В частности, именно такой характер убывания имеют рассмотренные выше конкурентные структуры (3.12) и (3.18), а также (2.15) при значениях а, не очень близких к 1. Положительность спектра этих матриц иллюстрирует теорему 2.

Заметим, что выпуклость коэффициентов конкуренции связана не только с устойчивостью равновесия N, но и с самим существованием этого равновесия (положительного решения системы ). Формула (4.5) показывает, например, что когда выпуклость нарушается достаточно сильно, т. е. когда а так, что выражение ) близко к нулю, мера «равновесности» такого сообщества весьма мала. Упомянутые в § 2 прямые вычисления решений (4.1) в случае (2.14) при значениях а, достаточно близких к 1 (а именно, тех, которые нарушают условие выпуклости ), свидетельствуют, что положительные решения возможны здесь лишь при специальном выборе правых частей т. е. соответствующий -гранный угол весьма узок (см. рис. 38,б) и, в частности, не содержит направления

Кроме того, выпуклость конкурентной функции оказывается связанной и со степенью влияния хищничества на плотность видовой упаковки в устойчивом сообществе, где конкурирующие виды служат пищей видам-хищникам (см. § 7).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление