Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Метод вычисления оценки

Доказанное в предыдущем параграфе соотношение (5.19) позволяет также установить оценки сверху и снизу для положительного спектра при достаточно больших что характеризует скорость возвращения возмущенных траекторий к равновесию.

Действительно, если сходится ряд из значений функции то, как следует из (5.5),

Особый интерес представляет собой левая часть этого неравенства

— оценка снизу минимального собственного числа А, которая в более компактной форме может быть записана как

Излагаемый ниже метод позволяет вычислить в ряде случаев, когда отыскание суммы знакопеременного ряда (6.1) не столь тривиально, как, скажем, для (3.11) — геометрической прогрессии. Метод опирается на хорошо известные положения теории функций комплексного переменного. Если — некоторая функция, аналитическая во всей -плоскости, кроме, быть может, конечного числа полюсов, и такая, что не имеет особенностей в точке то согласно теореме Коши

где обозначает вычет функции в точке , суммирование производится по всем полюсам подынтегральной функции, а интеграл берется по окружности бесконечного радиуса или любому замкнутому контуру С, ограничивающему область, где содержатся все полюсы подынтегральной функции. Последние распадаются на 2 категории точек: а) полюсы функции — обозначим их через и б) нули функции т. е. точки где k — любое целое число. Если аналитична в окрестности то

Когда — в противном случае требуется специальное исследование, —

и с учетом (6.3) тождество (6.2) переписывается как

Если в качестве функции использовать функцию , описывающую убывание коэффициентов конкуренции , то соотношение (6.4) позволяет в ряде случаев вычислить оценку в конечном виде.

Пример 1. В частном случае (2.14) одинаковых нормальных функций потребления

где

Функция аналитична во всей -плоскости, причем на окружности бесконечного радиуса всюду, кроме окрестности мнимой оси. Второе слагаемое (6.4) исчезает и

Контур С будем рассматривать как прямоугольник, охватывающий действительную ось (рис. 40).

Рис. 40. Контур интегрирования в комплексной плоскости.

При два вертикальных отрезка прямоугольника не дают вклада в интеграл (6.6).

Далее, на прямой от до получаем

Интегрирование по прямой от до дает, очевидно, комплексно-сопряженное значение I. Избавляясь от знаменателя в (6.7) через представление в виде суммы геометрической прогрессии, делая затем замену переменных в первом слагаемом, — во втором и т. д., приходим после соответствующих выкладок к

Окончательно это дает

что с точностью до обозначений приводит к упоминавшейся ранее аппроксимации (2.16).

Пример 2. Когда убывание коэффициентов описывается дробной функцией (3.18), например, при

Тогда функция аналитична всюду в -плоскости, за исключением полюсов причем интеграл по окружности бесконечного радиуса обращается в нуль. Вычеты в полюсах равны соответственно

так что согласно (6.4)

что, в частности, объясняет (получавшуюся в многочисленных прямых вычислениях) положительность спектра А при вида (3.18).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление