Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. О среднем времени жизни популяции

Рассмотрим ситуацию, когда на популяцию действуют возмущения, интенсивность которых мала по сравнению с динамическими факторами, определяющими ее эволюцию. Пусть эта эволюция описывается детерминистским уравнением

или, более конкретно, логистическим уравнением, так что

Пусть случайные возмущения в различные моменты независимы и однородны по времени, т. е. их можно описать процессом типа «белого шума» Тогда

где — некоторый малый параметр, характеризующий малость случайных возмущений. Пусть система находится вблизи устойчивого равновесия N и — область притяжения этой точки. Тогда в качестве меры устойчивости этого равновесия по отношению к случайным возмущениям можно взять среднее время которое понадобится для выхода траектории, начинающейся в из

Поскольку — случайная величина, то естественно рассматривать математическое ожидание этой величины. Для нахождения и можно сформулировать некоторую краевую задачу, однако эта задача оказывается довольно сложной, а получающаяся характеристика — излишне громоздкой. Поэтому при малых в качестве меры устойчивости естественно взять главный член при . Оказывается, что

где — некоторая константа, которая и определяет меру устойчивости относительно случайных возмущений Опишем способ вычисления константы . Оказывается, что если записать f (N) в виде

т. е. ввести некоторый квазипотенциал , то

где — граница

Если f (N) имеет логистическую форму, то

(6.6)

Популяция имеет устойчивое равновесие областью и неустойчивое . Очевидно, что минимум (6.5) достигается в точке . Константа интегрирования А определяется из условия Из (6.6) при находим, что . Тогда

Из этого выражения видно, что при увеличении коэффициента естественного прироста а и емкости среды К среднее время жизни популяции увеличивается, причем величина емкости среды более важна для выживания. Если записать логистическое уравнение в другой форме, через коэффициент внутривидовой конкуренции , то

Интерпретация этого соотношения также достаточно очевидна: усиление внутривидовой конкуренции уменьшает среднее время жизни, однако этот эффект более слабый, чем приводящее к аналогичным последствиям уменьшение естественного прироста.

Рассмотренный пример показывает, как даже небольшие, но постоянно действующие возмущения могут «расшатать» и привести к гибели популяцию, которая в отсутствие возмущений могла бы существовать неограниченно долго.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление