Главная > Разное > Устойчивость биологических сообществ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Связная устойчивость

В двух предыдущих параграфах было показано, что различные схемы случайного конструирования структуры сообщества дают прямо противоположные выводы о влиянии сложности на устойчивость. Вместе с тем существуют целые классы матриц, у которых вариации элементов вообще не нарушают их устойчивости и устойчивость сохраняется с изменением характеристик . Иными словами, изменение сложности в системах с такими матрицами вообще никак не влияет на устойчивость (если об устойчивости судить лишь по выполнению условия )

Одним из примеров такого класса матриц служат знак-устойчивые матрицы (§ 6 гл. IV), где вариации элементов, не нарушающие их знаковой структуры, сохраняют и устойчивость. Таким образом, в этом классе изменение сложности за счет не влияет на устойчивость.

Другим примером служат так называемые связно устойчивые матрицы, которые определяются следующим образом Пусть матрица сообщества размера со всеми отрицательными диагональными элементами представлена в виде

где , причем

Определим матрицу взаимосвязи как матрицу Е с элементами из промежутка

если , то вид оказывает влияние на вид t.

Для всякой матрицы можно рассмотреть матрицу с элементами

что соответствует ослаблению определенных связей исходной структуры, но отрицательность диагональных элементов сохраняется при любых значениях

Обозначим

Матрица называется связно устойчивой, если для любой матрицы взаимосвязи Е устойчива матрица

где символ означает произведение матриц в смысле Адамара Иными словами, при любых значениях из (7.3) сохраняется устойчивость матрицы с элементами (7.4). .

Для сообществ связная устойчивость означает сохранение устойчивости при любом ослаблении (вплоть до исчезновения) существующих в сообществе межвидовых связей. В крайнем случае, когда и сообщество распадается на изолированных видов, сохранение устойчивости гарантируется за счет самолимитирования всех видов (условие ).

Интересно выяснить, как соотносятся понятия связной и знаковой устойчивости матриц. Напомним, что критерием знак-устойчивости матриц, у которых все диагональные элементы отрицательны, является отсутствие отношений симбиоза и конкуренции, а также замкнутых петель длины более 2 в соответствующем знаковом ориентированном графе (теорема 1 § 6 гл. IV). Умножение (в смысле Адамара) на любую матрицу взаимосвязи Е означает, во-первых, изменение величины элементов матрицы сообщества и, во-вторых, обращение некоторых в нуль (когда соответствующие т. е. исчезновение соответствующих дуг ориентированного графа. Вариации ненулевых элементов (не нарушающие знака) сохраняют устойчивость в силу самого определения знак-устойчивости.

А удаление любой совокупности ребер знак-устойчивого графа не может породить ни связи симбиоза или конкуренции, ни циклы длиннее 2, т. е. вновь дает знак-устойчивую структуру. Таким образом, имеем соотношение

В том, что это соотношение не обратимо, легко убедиться на примере матрицы второго порядка

с положительными а, b, с и d, удовлетворяющими условиям связной устойчивости. Матрица содержит элементы одного знака и поэтому не может быть знак-устойчивой.

Приведем одно достаточное условие связной устойчивости. Если в матрице модуль каждого диагонального элемента превосходит сумму модулей остальных элементов данного столбца, то связно устойчива. Действительно, достаточность диагонального свойства

для устойчивости вытекает, например, из известного критерия локализации собственных чисел — кругов Гершгорина, и тогда то же самое свойство выполняется и при любой матрице взаимосвязи :

т. е. матрица также устойчива.

Экологически условие (7.7) означает, что каждый вид сообщества в большей степени влияет на себя (самолимити-руется), нежели на все остальные виды.

Не развивая далее теорию связно устойчивых матриц, отметим, что для этого класса матриц уменьшение связности (доли С ненулевых элементов) и интенсивности взаимодействий не нарушает их устойчивости и не дает тем самым прямого ответа на вопрос о соотношении сложности и устойчивости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление