Численные методы
 |
Н. Н. Калиткин Численные методы. В книге излагаются основные численные методы решения широкого круга математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов. Для каждого метода даны практические рекомендации по применению. Для лучшего понимания алгоритмов приведены примеры численных расчетов. Книга предназначена для студентов, аспирантов В преподавателей университетов и технических институтов, научных работников и инженеров-исследователей, а также для всех, имеющих дело с численными расчетами. |
Оглавление
ГЛАВА I. ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ?§ 2. Приближенный анализ
2. Структура погрешности.
3. Корректность.
ГЛАВА II. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
§ 1. Интерполирование
2. Линейная интерполяция.
3. Интерполяционный многочлен Ньютона.
4. Погрешность многочлена Ньютона.
5. Применения интерполяции.
6. Интерполяционный многочлен Эрмита.
7. Сходимость интерполяции.
8. Нелинейная интерполяция.
9. Интерполяция сплайнами.
10. Монотонная интерполяция.
11. Многомерная интерполяция.
§ 2. Среднеквадратичное приближение
2. Линейная аппроксимация.
3. Суммирование рядов Фурье.
4. Метод наименьших квадратов.
5. Нелинейная аппроксимация.
§ 3. Равномерное приближение
2. Нахождение равномерного приближения.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА III. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
1. Полиномиальные формулы.
2. Простейшие формулы.
3. Метод Рунге — Ромберга.
4. Квазиравномерные сетки.
5. Быстропеременные функции.
6. Регуляризация дифференцирования.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА IV. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Полиномиальная аппроксимация
2. Формула трапеций.
3. Формула Симпсона.
4. Формула средних.
5. Формула Эйлера.
6. Процесс Эйткена.
7. Формулы Гаусса — Кристоффеля.
8. Формулы Маркова.
9. Сходимость квадратурных формул.
§ 2. Нестандартные формулы
2 Нелинейные формулы.
3. Метод Филона.
4. Переменный предел интегрирования.
5. Несобственные интегралы.
§ 3. Кратные интегралы
2. Последовательное интегрирование.
§ 4. Метод статистических испытаний
2. Разыгрывание случайной величины.
3. Вычисление интеграла.
4. Уменьшение дисперсии.
5. Кратные интегралы.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА V. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Линейные системы
2. Метод исключения Гаусса.
3. Определитель и обратная матрица
4. О других прямых методах.
5. Прогонка.
6. Метод квадратного корня.
7. Плохо обусловленные системы.
§ 2. Уравнение с одним неизвестным
2. Дихотомия (деление пополам).
3. Удаление корней.
4. Метод простых итераций.
5. Метод Ньютона.
6. Процессы высоких порядков.
7. Метод секущих [48].
8. Метод парабол.
9. Метод квадрирования.
§ 3. Системы нелинейных уравнений
2. Метод Ньютона.
3. Методы спуска.
4. Итерационные методы решения линейных систем
ЗАДАЧИ
ГЛАВА VI. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
§ 1. Проблема и простейшие методы
2. Устойчивость.
3. Метод интерполяции.
4. Трехдиагольные матрицы.
5. Почти треугольные матрицы.
6. Обратные итерации.
§ 2. Эрмитовы матрицы
2. Прямой метод вращений.
3. Итерационный метод вращений.
§ 3. Неэрмитовы матрицы
2. Итерационные методы.
3. Некоторые частные случаи.
§ 4. Частичная проблема собственных значений
2. Метод линеаризации.
3. Степенной метод (счет на установление)
4. Обратные итерации со сдвигом.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА VII. ПОИСК МИНИМУМА
§ 1. Минимум функции одного переменного
2. Золотое сечение.
3. Метод парабол.
4. Стохастические задачи.
§ 2. Минимум функции многих переменных
2. Спуск по координатам.
3. Наискорейший спуск.
4. Метод оврагов.
5. Сопряженные направления.
6. Случайный поиск.
§ 3. Минимум в ограниченной области
2. Метод штрафных функций.
3. Линейное программирование.
4. Симплекс-метод
5. Регуляризация линейного программирования.
§ 4. Минимизация функционала
2. Метод пробных функций.
3. Метод Ритца.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА VIII. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Задача Коши
2. Методы решения.
3. Метод Пикара.
4. Метод малого параметра.
5. Метод ломаных.
7. Метод Адамса.
8. Неявные схемы.
9. Специальные методы.
10. Особые точки.
11. Сгущение сетки.
§ 2. Краевые задачи
2. Метод стрельбы (называемый также баллистическим).
3. Уравнения высокого порядка
4. Разностный метод; линейные задачи.
5. Разностный метод; нелинейные задачи.
6. Метод Галеркина.
7. Разрывные коэффициенты.
§ 3. Задачи на собственные значения
2. Метод стрельбы.
3. Фазовый метод.
5. Метод дополненного вектора.
6. Метод Галеркина.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА IX. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
2. Точные методы решения.
3. Автомодельность и подобие.
4. Численные методы.
§ 2. Аппроксимация
2. Явные и неявные схемы.
3. Невязка.
4. Методы составления схем.
5. Аппроксимация и ее порядок.
§ 3. Устойчивость
2. Основные понятия.
4. Метод разделения переменных.
5. Метод энергетических неравенств.
6. Операторные неравенства.
§ 4. Сходимость
2. Оценки точности.
3. Сравнение схем на тестах.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА X. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
2. Схемы бегущего счета.
3. Геометрическая интерпретация устойчивости.
4. Многомерное уравнение.
5. Перенос с поглощением.
6. Монотонность схем.
7. Диссипативные схемы.
§ 2. Квазилинейное уравнение
2. Однородные схемы.
3. Псевдовязкость.
4. Ложная сходимость.
5. Консервативные схемы.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА XI. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Одномерные уравнения
3. Асимптотическая устойчивость неявной схемы.
4. Монотонность.
5. Явные схемы.
6. Наилучшая схема.
7. Криволинейные координаты.
8. Квазилинейное уравнение.
§ 2. Многомерное уравнение
2. Продольно-поперечная схема
3. Локально-одномерный метод.
4. Метод Монте-Карло.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА XII. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Счет на установление
2. Оптимальный шаг.
3. Чебышевский набор шагов.
§ 2. Вариационные и вариационно-разностные методы
2. Стационарные разностные схемы.
3. Прямые методы решения.
4. Итерационные методы.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА XIII. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Волновое уравнение
2. Неявная схема.
3. Двуслойная акустическая схема.
4. Инварианты.
5. Явная многомерная схема.
6. Факторизованные схемы.
§ 2. Одномерные уравнения газодинамики
2. Псевдовязкость.
3. Схема «крест».
4. Неявная консервативная схема.
5. О других схемах.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА XIV. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Корректно поставленные задачи
2. Разностный метод.
5. Метод Галеркина
§ 2. Некорректные задачи
2. Вариационный метод регуляризации.
3. Уравнение Эйлера.
4. Некоторые приложения.
5. Разностные схемы.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА XV. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА
2. Величина и доверительный интервал.
3. Сравнение величин.
4. Нахождение стохастической зависимости.
ЗАДАЧИ
ПРИЛОЖЕНИЕ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
ЛИТЕРАТУРА