Главная > Физика > Динамические задачи нелинейной теории упругости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17.2. Волна ускорения.

Рассмотрим случай, когда для движения функции

непрерывны на а вторые и последующие производные функции разрывны. Тогда, в частности, разрывно ускорение Совокупность явлений на такой поверхности называют волной ускорения или волной слабого разрыва в отличие от волны сильного разрыва, для которой уже первые производные функции а именно и разрывны. Согласно (17.10) и (17.12) имеем

где — системы некоторых параметров. Поскольку следовательно, где новые параметры.

Принимая во внимание далее равенство получаем

В итоге

В связи с тензорным характером величин и множество параметров является вектором. Этот вектор определяет скачки всех вторых производных функции и называется амплитудой волны ускорения.

Перейдем к анализу уравнения движения (см. (4.35))

Если независимые переменные обозначить то в принятой декартовой системе координат полное ковариантное дифференцирование можно привести к дифференцированию по а материальную производную по времени — к частной производной по времени. Уравнение движения справедливо по обе стороны поверхности разрыва. Следовательно, справедливо тождество

Величины и — функции градиента который по предположению непрерывен. Отсюда

Если принять, что плотность и поле массовых сил непрерывны (самый важный технический случай), то вместо (17.16) получим

Скачки вторых производных функций определены формулой (17.11). При подстановке этих скачков в полученные выше уравнения находим

или (в произвольной системе координат)

Равнозначность (17.17) и (17.18) очевидна.

Тензор акустический. Благодаря симметрии он симметричный: Вообще он является функцией координат и направления Если зависит от времени, то он также будет функцией времени

Уравнения (17.18) являются условием распространения поверхности Из него следует, что амплитуда—собственный вектор, а произведение собственное значение акустического тензора Поскольку то всегда существуют три взаимно ортогональные амплитуды и три соответствующих им действительных квадрата скорости распространения. Если эти собственные значения положительны, то существуют действительные и поверхность может распространяться. Если собственные значения отрицательны, то не будет поверхностью разрыва. Из того что в (17.17) только одно произведение следует такое же условие распространения для направления как и для направления Таким образом, если поверхность разрыва может распространяться со скоростью в направлении то она сможет распространяться с той же скоростью в обратном направлении.

Подставим в условие распространения (17.17) нормаль и скорость определенные формулами (17.3) и (17.6) Тогда получим

Условие существования ненулевой амплитуды имеет вид

Таким образом, нелинейное дифференциальное уравнение относительно функций определяет положение поверхности разрыва. Используя далее функцию предположим, что она является

одной из шести ветвей решения уравнения (17.20), которой соответствует непрерывная функция Символ обозначает какое-либо фиксированное решение уравнения (17.19), выраженное как функция соответствующее уже фиксированной ветви (уравнение (17.19) определяет вектор с точностью до его направления, а не длины). Следовательно, будет обозначать не действительную амплитуду, а только решение уравнения (17.19). Уравнения, определяющие изменения действительной амплитуды, введем в следующем пункте. Напомним, что обсуждаемое в приложении условие сильной эллиптичности является достаточным для юго, чтобы скорости распространения, соответствующие всем направлениям распространения, были действительны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление