Элементы высшей математики
 |
Виноградов И.М. Элементы высшей математики. (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел). Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1999. — 511 с. Книга отличается наглядностью и простотой изложения основ аналитической геометрии, дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных и теории чисел. Содержатся примеры и упражнения, позволяющие глубоко усвоить основные понятия и методы рассматриваемых областей математики. Для студентов вузов, а также преподавателей втузов и техникумов. Может быть полезно учителям средней школы и школьникам старших классов. |
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Ось
§ 2. Вектор
§ 3. Направленные углы
§ 4. Проекция вектора с оси на ось
§ 5. Векторные цепи
§ 6. Цепи углов
§ 7. Проекции вектора на две взаимно перпендикулярные оси
§ 8. Угол между двумя лекторами. Условия параллельности и перпендикулярности
S 9. Упражнения и контрольные вопросы
Глава 2. КООРДИНАТЫ
§ 1. Метод координат
§ 2. Основные задачи, решаемые методом координат
§ 3. Упражнения
Глава 3. ФУНКЦИИ
§ 1. Переменные в постоянные
§ 2. Понятие о функциональной зависимости
§ 3. Классификация математических функций
§ 4. Обзор и графическое изображение простейших функции одного аргумента
§ 5. Обратные функции
§ 6. Понятие об уравнении линии
§ 7. Упражнения
Глава 4. ПРЯМАЯ
§ 1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
§ 2. Общее уравнение прямой
§ 3. Частные случаи
§ 4. Переход к уравнению с угловым коэффициентом
§ 5. Построение прямой
§ 6. Определение угла между двумя прямыми
§ 7. Условие совпадения прямых
§ 8 Пересечение прямых
§ 9. Расстояние от точки до прямой
§ 10. Другой подход к выводу уравнения прямой
§ 11. Прямая, проходящая через две точки
§ 12. Уравнение прямой в отрезках на осях
§ 13. Задачи на прямую линию
Глава 5. ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
§ 1. Окружность
§ 2. Эллипс. Построение посредством нитн. Зависимость между полуосями и полуфокусным расстоянием
§ 3. Построение эллипса по точкам
§ 4. Уравнение эллипса
§ 5. Связь эллипса с окружностью
§ 6. Директрисы эллипса
§ 7. Гипербола. Построение посредством нити
§ 8. Построение гиперболы по точкам
§ 9. Уравнение гиперболы
§ 10. Асимптоты. Геометрическое значение b
§ 11. Директрисы гиперболы
§ 12. Парабола. Построение по точкам
§ 13. Уравнение параболы
§ 14. Преобразование координат
§ 15. Пример на упрощение уравнения кривой путем параллельного переноса осей
§ 16. Поворот осей
§ 17. Общий случай
§ 18. Полярные координаты
§ 19. Спираль Архимеда
§ 20. Логарифмическая спираль
§ 21. Примеры на составление полярных уравнений кривых
§ 22. Выражение прямоугольных координат через полярные
§ 23. Уравнение лемнискаты
§ 24. Параметрическое задание линий
§ 25. Построение графика
§ 26. Циклоида
§ 27. Упражнения
Глава 6. ВЕКТОРЫ, ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Оси, векторы, углы
§ 2. Проекции
§ 3. Проекции на три взаимно перпендикулярные оси. Длина вектора через проекции
§ 4. Простейшие зависимости, содержащие величину вектора, проекции и направляющие косинусы
§ 5. Проекция вектора на оси. Косинус угла между двумя векторами. Скалярное произведение векторов
§ 6. Координаты
§ 7. Выражение проекций вектора через координаты конца и начала
§ 8. Выражение длины вектора через координаты концов. Расстояние между двумя точками
§ 9. Деление отрезка в данном отношении
§ 10. График уравнения с двумя переменными
§ 11. Поверхность как след, образуемый перемещением некоторой деформируемой плоской кривой
§ 12. Цилиндрические поверхности
§ 13. Обратная задача. Уравнение шаровой поверхности
§ 14. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
§ 15. Общее уравнение плоскости
§ 16. Частные случаи
§ 17. Выяснение расположения плоскости относительно осей
§ 18. Угол между плоскостями. Условие параллельности. Условие перпендикулярности
§ 19. Условие совпадения плоскостей
§ 20. Расстояние от точке до плоскости
§ 21. Прямая как пересечение двух плоскостей
§ 22. Прямая, проходящая через данную точку
§ 23. Прямая, проходящая через две точки
§ 24. Переход от системы уравнений прямой в общем виде к системе в виде пропорций
§ 25. Угол между прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности
§ 26. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности
§ 27. Простейшие поверхности. Эллипсоид
§ 28. Другие простейшие поверхности
§ 29. Кривая в пространстве как пересечение двух поверхностей
§ 30. Параметрические уравнения
§ 31. Винтовая линия
§ 32. Параметрические уравнения в механике
§ 33. Переход от параметрического представления к общему и обратно
§ 34. Преобразование координат
§ 35. Упражнения
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Бесконечно малые
§ 2. Понятие предела переменной величины
§ 3. Понятие бесконечно большой
§ 4. Свойства бесконечно малых
§ 5. Основные свойства пределов
§ 6. Предел непрерывной функции
§ 7. Геометрическое истолкование непрерывности
§ 8. Свойство непрерывной функции
§ 9. Предел функции, зависящей от нескольких переменных
§ 10. Особые случаи разыскания предела
§ 11. Замечательный тригонометрический предел
§ 12. Признак существования предела
§ 13. Сходимость бесконечных рядов
§ 14. Простейшие признаки сходимости
§ 15. Основание натуральных логарифмов
§ 16. Порядок бесконечно малых
§ 17. Упражнения
Глава 2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 1. Производная как угловой коэффициент касательной
§ 2. Производная как предел
§ 3. Пояснение общей теории на примере. Уравнения касательной и нормали
§ 4. Механическое значение производной
§ 5. Производные трех простейших функций
§ 6. Производная постоянного и суммы. Вынесение постоянного множителя за знак производной
§ 7. Производная сложной функции
§ 8. Разыскание производных путем логарифмирования. Производные функции х^n при любом n к функции а^x.
§ 9. Производные произведения и частного. Производные tg x и ctg x.
§ 10. Производные обратных тригонометрических функций
§ 11. Сводка основных формул
§ 12. Дифференциал
§ 13. Основные формулы для дифференциалов
§ 14. Высшие производные
§ 15. Высшие дифференциалы
§ 16. Дифференцирование неявных функций
§ 17. Дифференцирование функций, заданных параметрическим способом
§ 18. Преобразование дифференциалов к новой переменной
§ 19. Упражнения
Глава 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Непрерывность первой производной
§ 2. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум
§ 3. Приложение к построению графиков
§ 4. Наибольшее и наименьшее значения функции
§ 5. Прикладные задачи на наибольшее и наименьшее значения
§ 6. Направление выпуклости, точки перегиба
§ 7. Приложение к построению графиков
§ 8. Построение графиков разрывных функций
§ 9. Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака первой производной
§ 10. Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака второй и высших производных
§ 11. Асимптоты
§ 12. Дифференциал дуги
§ 13. Направляющие косинусы касательной
§ 14. Радиус кривизны, центр кривизны
§ 15. Дифференциал дуги и направляющие косинусы касательной для кривой в пространстве
§ 16. Упражнения
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Функции многих переменных. Область определения. Непрерывность
§ 2. Частные производные и полный дифференциал
§ 3. Частные производные и полный дифференциал сложной функции многих переменных
§ 4. Дифференцирование неявных функций
§ 5. Частные производные и полные дифференциалы высшего порядка
§ 6. Упражнения
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Глава 1. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
§ 2. Общий наибольший делитель
§ 3. Общее наименьшее кратное
§ 4. Простые числа
§ 5. Единственность разложения на простые сомножители
§ 6. Непрерывные дроби и их связь с алгоритмом Евклида
Вопросы к главе 1
Глава 2. ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
§ 1. Функции [x] и {x}
§ 2. Мультипликативные функции
§ 3. Число делителей и сумма делителей
§ 4. Функция Мёбиуса
§ 5. Функция Эйлера
Вопросы к главе II
Глава 3. СРАВНЕНИЯ
§ 2. Свойства сравнений, подобные свойствам равенств
§ 3. Дальнейшие свойства сравнений
§ 4. Полная система вычетов
§ 5. Приведенная система вычетов
§ 6. Теоремы Эйлера и Ферма
Вопросы к главе 3
Глава 4. СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
§ 2. Сравнения первой степени
§ 3. Система сравнений первой степени
§ 4. Сравнения любой степени по простому модулю
§ 5. Сравнения любой степени по составному модулю
Вопросы к главе 4
Глава 5. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
§ 2. Символ Лежандра
§ 3. Символ Якоби
§ 4. Случай составного модуля
Вопросы к главе 5
Глава 6. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ
§ 2. Первообразные корни по модулям
§ 3. Разыскание первообразных корней по модулям
§ 4. Индексы по модулям
§ 5. Следствия предыдущей теории
§ 6. Индексы по модулю 2^a
§ 7. Индексы по любому составному модулю
Вопросы к главе 6
Глава 7. ХАРАКТЕРЫ
§ 2. Важнейшие свойства характеров
Вопросы к главе 7
РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
Решения к главе 2
Решения к главе 3
Решения к главе 4
Решения к главе 5
Решения к главе 6
ОТВЕТЫ К ЧИСЛЕННЫМ ПРИМЕРАМ