6.2. ÌÅÐÛ ÔÐÀÊÒÀËÜÍÎÉ ÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÈ
Ñóùåñòâóþò äâà âîçðàæåíèÿ ïðîòèâ èñïîëüçîâàíèÿ åìêîñòè â êà÷åñòâå ìåðû ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè ñòðàííûõ àòòðàêòîðîâ — îäèî òåîðåòè÷åñêîå è îäíî âû÷èñëèòåëüíîå. Âî-ïåðâûõ, åìêîñòíàÿ ðàçìåðíîñòü — ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìåðà, ò. å. îíà íå ó÷èòûâàåò ÷àñòîòó, ñ êîòîðîé òðàåêòîðèÿ ïîñåùàåò ýëåìåíò ïîêðûòèÿ (êóá èëè øàð). Âî-âòîðûõ, ïîäñ÷åò ãèïåðêóáîâ, îáðàçóþùèõ ïîêðûòèå ìíîæåñòâà â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, òðåáóåò î÷åíü áîëüøèõ çàòðàò âû÷èñëèòåëüíîãî âðåìåíè.  ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì òðè àëüòåðíàòèâíûõ îïðåäåëåíèÿ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè, êîòîðûå âîñïîëíÿþò íåäîñòàòêè åìêîñòè. Ñëåäóåò îòìåòèòü, îäíàêî, ÷òî äëÿ ìíîãèõ ñòðàííûõ àòòðàêòîðîâ ýòè ðàçëè÷íûå ðàçìåðíîñòè äàþò ïðèìåðíî îäíî è òî æå çíà÷åíèå.
ÏÎÒÎ×Å×ÍÀß ÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÜ
Ðàññìîòðèì êàêóþ-íèáóäü òðàåêòîðèþ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå íà ïðîòÿæåíèè ïðîäîëæèòåëüíîãî èíòåðâàëà âðåìåíè (ðèñ. 6.7). Ïðîèçâåäåì, âî-ïåðâûõ, íåêîòîðóþ âûáîðêó òî÷åê ñ òåì, ÷òîáû ïîëó÷èòü íà òðàåêòîðèè äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ïðåäñòàâëÿþùèõ òî÷åê. Âî-âòîðûõ, îïèøåì âîêðóã êàêîé-íèáóäü òî÷êè íà òðàåêòîðèè ñôåðó ðàäèóñà
(èëè êóá ñ ðåáðîì
) è ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî âûáîðî÷íûõ òî÷åê
ïîïàâøèõ âíóòðü ñôåðû. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûáîðî÷íàÿ òî÷êà îêàæåòñÿ âíóòðè ñôåðû, ìû ïîëó÷èì, ðàçäåëèâ
íà ïîëíîå ÷èñëî âûáîðî÷íûõ òî÷åê íà òðàåêòîðèè:
Äëÿ îäíîìåðíîé îðáèòû, íàïðèìåð äëÿ çàìêíóòîé ïåðèîäè÷åñêîé îðáèòû, âåðîÿòíîñòü
ëèíåéíà ïî
ïðè
.
Ðèñ. 6.7. Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå çà áîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ñ âûáîðî÷íûìè òî÷êàìè è ñôåðîé, âíóòðè êîòîðîé ïðîèçâîäèòñÿ ïîäñ÷åò âûáîðî÷íûõ òî÷åê.
Åñëè áû òðàåêòîðèÿ áûëà êâàçèïåðèîäè÷åñêîé è, íàïðèìåð, ëåæàëà áû íà íåêîòîðîé äâóìåðíîé òîðîèäàëüíîé ïîâåðõíîñòè â òðåõìåðíîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, òî âåðîÿòíîñòü íàéòè òî÷êó òðàåêòîðèè â ìàëîì êóáå èëè ñôåðå ðàäèóñà
ñîñòàâëÿëà áû âåëè÷èíó
. Ýòî íàâîäèò íà ìûñëü îá îïðåäåëåíèè ðàçìåðíîñòè òðàåêòîðèè â òî÷êå
— âåêòîð â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå) ïóòåì èçìåðåíèÿ äîëè âðåìåíè, ïðîâîäèìîãî òðàåêòîðèåé âíóòðè ìàëîé ñôåðû, ò. å.
(6.2.2)
Äëÿ íåêîòîðûõ àòòðàêòîðîâ ýòî îïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò òî÷êè
. Íî äëÿ ìíîãèõ äðóãèõ àòòðàêòîðîâ
çàâèñèò îò
, è ïîýòîìó ëó÷øå ïîëüçîâàòüñÿ óñðåäíåííîé ïîòî÷å÷íîé ðàçìåðíîñòüþ. Êðîìå òîãî, äëÿ íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ, òàêèõ, êàê êàíòîðîâñêîå ìíîæåñòâî, â ðàñïðåäåëåíèè òî÷åê èìåþòñÿ ùåëè, èëè ïðîáåëû, ïîýòîìó è
ïðè
ïåðåñòàåò áûòü íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé îò
(âñïîìíèì õîòÿ áû äüÿâîëüñêóþ ëåñòíèöó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 6.3).
×òîáû ïîëó÷èòü óñðåäíåííóþ ïîòî÷å÷íóþ ðàçìåðíîñòü, âûáèðàþò ñëó÷àéíûì îáðàçîì ìíîæåñòâî òî÷åê
è â êàæäîé åãî òî÷êå âû÷èñëÿþò
. Ïîñëå òîãî êàê ýòî ñäåëàíî, óñðåäíåííàÿ ïîòî÷å÷íàÿ ðàçìåðíîñòü âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
 êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâû ìîæíî óñðåäíÿòü âåðîÿòíîñòè
.
Äëÿ ýòîãî ìû âûáèðàåì ñëó÷àéíîå ïîäìíîæåñòâî èç Ì òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ âîêðóã àòòðàêòîðà
, è ïðåäïîëàãàåì, ÷òî
èëè
Íà ïðàêòèêå
òî÷åê, ïîýòîìó
Äðóãîé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè ñîñòîèò â óñðåäíåíèè ïî ðàäèóñàì ñôåð (èëè ðàçìåðàì êóáîâ) â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, ñîäåðæàùèõ îäíî è òî æå ÷èñëî òî÷åê (íàïðèìåð, N òî÷åê). Âûáèðàÿ ðàçëè÷íûå òî÷êè îòñ÷åòà
(öåíòðû ñôåð èëè êóáîâ), âû÷èñëÿþò
è áåðóò ñðåäíåå ïî
òî÷êàì îòñ÷åòà:
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ ôðàêòàëîâ âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ïîäîáèÿ
Ýòîò ìåòîä èññëåäîâàëè Òåðìîíèà è Àëåêñàíäðîâè÷ [188].