Элементарная математика с точки зрения высшей, Т.1. Арифметика. Алгебра. Анализ

  

Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ. М., Наука, 1987, - 432 с.

Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах.

Первый том посвящен вопросам арифметики, алгебры, анализа. Автор рассматривает понятие числа (целого, рационального, иррационального), особо останавливаясь на тех «мостиках», которыми можно соединить вузовское и школьное преподавание математики. Написанная в форме лекций для учителей, книга и за давностью лет не потеряла своей значимости,, свежести, привлекательности.

Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников и просто любителей математики.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
ВВЕДЕНИЕ
АРИФМЕТИКА
I. ДЕЙСТВИЯ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
2. Основные законы арифметических действий
3. Логические основы теории целых чисел
4. Практика счета с целыми числами
II. ПЕРВОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
1. Отрицательные числа
2. Дроби
3. Иррациональные числа
III. ОСОБЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании
2. Простые числа и разложение на множители
3. Обращение простых дробей в десятичные
4. Непрерывные дроби
5. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма
6. Задача о делении окружности на равные части
7. Доказательство невозможности построения правильного семиугольника циркулем и линейкой
IV. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1. Обыкновенные комплексные числа
2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы
3. Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве
4. Комплексные числа в преподавании
V. СОВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ И СТРОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ ВООБЩЕ
1. Два различных ряда эволюций, по которым параллельно развивался математический анализ
2. Краткий обзор истории математики
АЛГЕБРА
I. УРАВНЕНИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
2. Уравнения с двумя параметрами
Классификация уравнений по числу действительных корней.
3. Уравнения с тремя параметрами
Дискриминантная кривая приведенного уравнения четвертой степени.
II. УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
А. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
В. УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ КОМПЛЕКСНЫМ ПАРАМЕТРОМ
1. Двучленное уравнение z^n = w
Невозможность деления угла на три равные части.
2. Уравнение диэдра
3. Уравнения тетраэдра, октаэдра и икосаэдра
4. Продолжение; вывод уравнений
5. О решении нормальных уравнений
6. Униформизация нормальных уравнений посредством трансцендентных функций
Тригонометрическое решение кубического уравнения.
7. Разрешимость в радикалах
8. Сведение общих уравнений к нормальным
АНАЛИЗ
1. Систематика алгебраического анализа
2. Историческое развитие учения о логарифме
Непер и Бюрги: уравнение в конечных разностях.
XVII столетие: площадь гиперболы.
Эйлер и Лагранж: алгебраический анализ.
XIX столетие: функции комплексной переменной.
3. Некоторые замечания о школьном преподавании
4. Точка зрения современной теории функций
II. О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
1. Теория тригонометрических функций в связи с учением о логарифме
2. Тригонометрические таблицы
В. Логарифмо-тригонометрические таблицы.
3. Применения тригонометрических функций
В. Учение о малых колебаниях, в частности, о колебаниях маятника.
С. Изображение периодических функций посредством рядов из тригонометрических функций (тригонометрические ряды).
D. Общее понятие функции.
III. ИСЧИСЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА
1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых
Введение дифференциала (Лейбниц и его последователи).
Реакция против предельных переходов и бесконечно малых; исчисление производных Лагранжа.
О преподавании исчисления бесконечно малых в школе.
2. Теорема Тейлора
Оценка погрешности.
Проблемы интерполирования и разностного исчисления.
3. Замечания исторического и педагогического характера
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ ЧИСЕЛ e И pi
2. Доказательство трансцендентности числа e
3. Доказательство трансцендентности числа pi
4. Трансцендентные и алгебраические числа
II. УЧЕНИЕ О МНОЖЕСТВАХ
1. Мощность множества
Счетность множества рациональных и алгебраических чисел.
Несчетность континуума.
Мощность континуумов высших измерений.
Множества более высоких мощностей.
2. Порядок элементов множества
Инвариантность числа измерений при непрерывном отображении.
3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о преподавании в школе
ПРИМЕЧАНИЯ
АЛГЕБРА
АНАЛИЗ