Главная > Математика > Элементарная математика с точки зрения высшей, Т.1. Арифметика. Алгебра. Анализ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Применения тригонометрических функций

Здесь нас интересуют:

Тригонометрия, которая вообще послужила поводом к изобретению тригонометрических функций.

Механика, в которой учение о малых колебаниях представляет собой особенно обширную область их применения.

Изображение периодических функций посредством тригонометрических рядов, которое, как известно, играет весьма важную роль в самых разнообразных вопросах.

А. Тригонометрия, в особенности сферическая тригонометрия.

Тригонометрия является весьма древней наукой; уже в Египте она достигла высокой степени развития под влиянием запросов двух важных наук: геодезии, нуждавшейся в учении о плоских треугольниках, и астрономии, нуждавшейся в учении о сферических треугольниках.

Характер настоящих лекций не позволяет, конечно, дать систематическое изложение всей тригонометрии; это должно составить предмет специального курса; к тому же ведь здесь, в Гёттингене, практической тригонометрии уделяется вполне достаточно внимания на обычных лекциях по геодезии и сферической астрономии. Я же хотел бы поговорить с вами об одной очень интересной главе теоретической тригонометрии, которая, несмотря на свою весьма глубокую древность, все еще не может считаться вполне законченной, так как она до сих пор еще содержит много невыясненных вопросов и проблем сравнительно элементарного характера, обработка которых не кажется мне неблагодарным трудом; я имею в виду сферическую тригонометрию. Этот отдел как раз разработан весьма обстоятельно в книге Вебера и Вельштейна; там приняты во внимание те идеи, которые развил Штуди в своем фундаментальном сочинении «Сферическая тригонометрия, ортогональные подстановки и эллиптические функции». Я попытаюсь представить вам обзор всех относящихся сюда теорий и в особенности указать на вопросы, остающиеся пока открытыми.

Основные понятия сферической тригонометрии и формулы первой ступени. Элементарное понятие сферического треугольника вряд ли нуждается в подробных разъяснениях: три точки на сфере вполне определяют (если только никакие две из них не лежат на концах одного диаметра) треугольник; каждый из трех углов и каждая сторона этого треугольника заключаются между 0 и я (рис. 72).

Но при дальнейших исследованиях оказывается целесообразным считать стороны и углы неограниченными переменными величинами, которые могут становиться даже большими или или кратными тогда приходится говорить о сторонах, налагающихся на самих себя, и об углах, делающих по нескольку оборотов около вершины. При этом приходится условиться относительно знака этих величин, т. е. относительно того направления, в котором их надо отсчитывать.

Заслуга последовательного проведения принципа знаков как в геометрии, так и, в частности, в сферической тригонометрии принадлежит великому лейпцигскому геометру Мёбиусу. Благодаря этому принципу был впервые проложен путь для исследований наиболее общего характера о величинах, неограниченно изменяющихся.

Рис. 72

Рис. 73

Эти условия относительно знака начинаются с того, что устанавливают определенное направление вращения, при котором углы около всякой точки А На сфере считаются положительными; если это направление указано для одной какой-нибудь точки сферы, то это же самое направление переносят по принципу непрерывного изменения на всякую другую точку сферы (рис. 73). Можно, например, как обыкновенно делают, считать за положительное направление вращения то, которое при наблюдении с внешней стороны представляется обратным движению часовой стрелки. Далее, необходимо установить для всякой большой окружности на сфере определенное направление обхода, но здесь невозможно ограничиться установлением определенного направления для одной какой-нибудь окружности и затем непрерывно переходить ко всем другим окружностям, так как каждую окружность можно привести двумя существенно различными способами к совмещению со всякой другой окружностью.

Поэтому каждой окружности, с которой нам придется иметь дело, мы будем в отдельности приписывать определенное направление обхода и будем рассматривать одну и ту же окружность как два различных геометрических объекта в зависимости от того, какое направление для нее мы примем за положительное. Установив такие определения, мы можем каждой большой окружности а однозначно отнести определенный полюс Р, а именно тот из ее двух полюсов в обычном смысле слова, из которого ее направление представляется положительным; обратно, каждому полюсу соответствует однозначно определенная «полярная окружность» с определенным направлением обхода. Этим вполне однозначно устанавливается столь важный в тригонометрии «процесс полярного преобразования» 125).

Рис. 74

Если даны три какие-нибудь точки А, В, С на сфере (рис. 74), то для однозначного определения сферического треугольника, имеющего вершины в этих точках, недостает еще некоторых данных; прежде всего необходимо присвоить каждой из трех больших окружностей, проходящих через точки А, В, С, определенное направление, а также нужно указать, сколько раз следует каждую из них обойти в указанном для нее направлении, прежде чем прийти от В к С от С к А, от А к В. Определенные таким образом длины а, b, с, которые могут иметь любые действительные значения, называются сторонами сферического треугольника; мы, конечно, примем, что они отнесены к сфере с радиусом 1. Далее, углы получают такое определение: угол а при вершине А получается при таком повороте в положительном направлении, при котором положительное направление дуги СА, кончающейся в А, переходит в положительное направление дуги АВ, начинающейся в ; к этому углу еще можно добавить в виде слагаемого любое кратное аналогично определяются и прочие углы.

Рассмотрим обыкновенный элементарный треугольник, как указано на рис. 74, и установим направления сторон так, чтобы длины сторон а, b, с были меньше тогда углы оказываются согласно нашему новому определению, как это легко видеть, внешними углами треугольника, а не его внутренними углами, как при обычном элементарном определении.

Давно известно, что при такой замене обычно принимаемых углов их дополнениями до формулы сферической тригонометрии получают более симметричный и более наглядный вид. Более глубокую причину этого можно видеть в следующем: указанный выше процесс полярного преобразования относит каждому треугольнику, определенному согласно правилам Мёбиуса, описанным выше, вполне однозначно другой треугольник, «полярный» по отношению к первому, и нетрудно видеть, что последний при наших новых определениях имеет углами стороны первоначального треугольника, а сторонами — его углы. Поэтому всякая формула, написанная в этих обозначениях, должна иметь место и в том случае, если мы в ней поменяем местами а, b, с с а, р, у, так что всегда должна иметь место симметрия между сторонами и углами. При обычном элементарном измерении углов и сторон эта симметрия не имеет места, так как соотношения между данным треугольником и его полярным треугольником зависят от того, что считают в каждом отдельном случае за углы и стороны, и от выбора того или другого из двух полюсов окружности, заданной без определенного направления обхода.

Ясно поэтому, что из шести определенных таким образом элементов сферического треугольника только три можно изменять непрерывным образом независимо друг от друга, например, две стороны и заключенный между ними угол. Формулы сферической тригонометрии представляют собой известное число соотношений между этими 6 элементами или, вернее, алгебраических соотношений между их 12 косинусами и синусами; эти соотношения позволяют произвольно изменять только 3 из этих 12 величин, тогда как другие 9 находятся в алгебраической зависимости от первых трех.

При переходе к косинусу и синусу мы перестаем, разумеется, обращать внимание на то, какое именно кратное служит дополнительным слагаемым. Представляя себе тригонометрию как собрание всевозможных алгебраических соотношений такого рода, мы можем определить ее задачу в соответствии с современными взглядами следующим образом: станем рассматривать величины

как координаты точки в пространстве 12 измерений совокупность всех тех точек этого пространства, которые соответствуют действительно возможным сферическим треугольникам а, у, составляет трехмерное алгебраическое многообразие этого пространства и вот это именно многообразие и подлежит изучению. Этим сферическая тригонометрия включается в общую аналитическую геометрию многомерных пространств.

Это многообразие должно обладать различными симметриями. Так, процесс полярного преобразования показывает, что замена величин а, b, с величинами а, р, у и обратно всегда дает новый сферический треугольник; по отношению к нашим новым обозначениям это значит, что из всякой точки в можно получить другую точку, принадлежащую тоже если заменить величинами и наоборот. Далее, всякому треугольнику соответствуют семь смежных треугольников соответственно делению всего пространства на 8 октантов плоскостями трех больших окружностей; элементы этих треугольников получаются из элементов первоначального треугольника посредством изменения и прибавления это дает для каждой точки множества семь новых точек, координаты которых получаются посредством перемены знака у координат исходной точки.

Совокупность этих симметрий приводит в конце концов к некоторой группе перестановок и перемен знака у координат точек которая преобразует многообразие в себя.

Наиболее важным является вопрос о тех алгебраических уравнениях, которым удовлетворяют координаты точек многообразия и которые образуют совокупность тригонометрических формул. Так как всегда то это дает нам прежде всего шесть квадратичных соотношений

которые, выражаясь геометрически, изображают шесть цилиндрических поверхностей второго порядка, содержащих многообразие

Другие шесть формул дает теорема косинусов сферической тригонометрии, которая в наших обозначениях выражается так:

что при полярном преобразовании дает

Эти формулы вместе с теми четырьмя, которые получаются при циклических перестановках символов , определяют шесть поверхностей третьего порядка, содержащих многообразие

Наконец, можно еще использовать теорему синусов, которая получается, если приравнять нулю миноры следующей матрицы:

Иначе говоря, эта теорема выражается равенствами

Это дает три поверхности второго порядка, из которых, однако, только две линейно независимы.

Таким образом, в общем мы получили 15 уравнений для точек нашего многообразия в пространстве

Для выделения из трехмерного множества оказывается, вообще говоря, недостаточным иметь уравнений. В самом деле, уже в обыкновенной геометрии пространства как известно, отнюдь не всякая кривая в пространстве может быть представлена как полное пересечение двух алгебраических поверхностей; простейшим примером служит пространственная кривая третьего порядка, для определения которой необходимы по меньшей мере 3 уравнения. Так и в нашем случае легко видеть, что 9 уравнений (1) и (2) еще не определяют как известно, из теоремы косинусов можно вывести теорему синусов, не считая одного знака, вопрос о котором решают затем при помощи геометрических соображений. Представляется желательным знать, какие именно уравнения и в каком числе вполне определяют наше многообразие Вообще, я желал бы формулировать здесь четыре определенных вопроса, на которые, по-видимому, в литературе до сих пор еще нет точного ответа; они заслуживают, я думаю, подробного изучения, которое к тому же и не должно представить особенного труда, если только приобретена известная сноровка в обращении с формулами сферической тригонометрии.

Вот эти вопросы:

1. Что надо понимать под «порядком» многообразия

2. Каковы уравнения самой низкой степени, посредством которых можно представить многообразие в чистом виде?

3. Какова полная система независимых уравнений, содержащих т. е. таких уравнений из которых всякое другое уравнение, изображающее поверхность, проходящую через может быть составлено линейным образом посредством целых рациональных множителей в виде

Для этого может понадобиться больше уравнений, чем указывает ответ на вопрос 2.

4. Какие алгебраические тождества [так называемые сизигии (Syzygieen)] имеют место между этими формами

Во всех этих вещах можно ориентироваться с помощью уже произведенных исследований, которые преследуют ту же самую цель, хотя исходят из несколько иной постановки вопроса. Эти исследования содержатся в гёттингенской диссертации, которую написала Чизхольм (позднее Юнг) в 1894 г. Это — первая диссертация в Пруссии, написанная женщиной. Среди различных приемов, применяемых Чизхольм, наиболее замечательный состоит в том, что за независимые координаты она принимает котангенсы половин углов и дуг; действительно, ввиду того, что основной функцией является , а следовательно, и и что через нее однозначно выражаются , оказывается возможным записать всякое тригонометрическое равенство в виде алгебраического соотношения между

Поэтому сферические треугольники представляют теперь трехмерное алгебраическое многообразие в шестимерном пространстве которое имеет координатами

Чизхольм показала, что это многообразие имеет порядок, равный 8, и что оно может быть представлено как полное пересечение трех поверхностей второго порядка в пространстве

Формулывторой ступени, собственные и несобственные треугольники. Формулы сферической тригонометрии, о которых я до сих пор говорил и которые связывают синусы и косинусы сторон и углов, я называю формулами первой ступени; им противопоставляют группу существенно других формул под именем формул второй ступени.

Эти формулы представляют собой алгебраические уравнения, которым подчинены тригонометрические функции половин углов и сторон; поэтому при изучении последних представляется наиболее удобным рассматривать 12 величин

как координаты нового двенадцатимерного пространства в котором сферические треугольники снова образуют трехмерное алгебраическое многообразие На первом месте здесь стоят прежде всего те изящные формулы, которые были опубликованы в начале прошлого столетия почти одновременно и независимо друг от друга Деламбром (1807), Мольвейде (1808) и, наконец, Гауссом (1809). Это 12 формул, получаемых посредством круговой перестановки из формул

Нечто существенное и новое по сравнению с формулами первой ступени представляет здесь двойной знак, который надо понимать следующим образом: для одного и того же треугольника имеют место одновременно все верхние или все нижние знаки во всех 12 формулах; при этом оказывается, что существуют треугольники как того, так и другого рода. Таким образом, множество сферических треугольников в определенном выше пространстве определяется двумя совершенно различными системами, состоящими из 12 кубических уравнений каждая, и распадается поэтому на два отдельных алгебраических многообразия: для которого имеет место один знак, и для которого надо брать другой знак. Благодаря этому замечательному обстоятельству упомянутые формулы приобретают особенно важное значение в теории сферических треугольников; они представляют собой нечто гораздо большее, чем простое преобразование прежних уравнений, годное — самое большее — для облегчения тригонометрических вычислений, как полагали Деламбр и Мольвейде.

Гаусс первый взглянул на дело глубже; действительно, он указывает на возможность перемены знака, если придать идее сферического треугольника ее наибольшую общность. Поэтому мне кажется вполне справедливым называть эти формулы формулами Гаусса, хотя и не ему принадлежит приоритет их опубликования.

Но впервые понял все значение этого обстоятельства Штуди и разъяснил его в 1894 г. Его главный результат удобно выразить, если исходить из пространства шести измерений для которого координатами служат сами значения , рассматриваемые как неограниченно изменяющиеся переменные; мы будем называть их трансцендентными определяющими элементами треугольника в отличие от алгебраических определяющих элементов или так как первые представляют собой трансцендентные, а вторые — алгебраические функции обыкновенных пространственных координат вершин треугольника. В этом пространстве совокупность всех сферических треугольников составляет трансцендентное многообразие Мобразом которого в пространстве служит определенное выше алгебраическое многообразие Но так как последнее распадается на два многообразия, а отображающие функции представляют собой

Однозначные и непрерывные функции трансцендентных координат, то и трансцендентное многообразие должно распадаться на две отдельные части (составляющие). Сама теорема Штуди заключается в следующем: трансцендентное многообразие всех величин , какие только могут быть элементами сферического треугольника самого общего вида, распадается, соответственно двойному знаку в формулах Гаусса, на две отдельные связные части. Наиболее важным является здесь невозможность дальнейшего распадения; это значит, что дальнейший анализ тригонометрических формул не может привести к подобным и столь же глубоким разделениям множества всех сферических треугольников.

Треугольники первой группы, соответствующей верхнему знаку в формулах Гаусса, называют собственными треугольниками, а треугольники второй группы — несобственными, так что теорему Штуди можно выразить так: совокупность всех сферических треугольников распадается на континуум собственных и на континуум несобственных треугольников. Относящиеся сюда подробности и доказательство теоремы Штуди вы найдете у Вебера и Вельштейна (т. II, 47). Я же сообщаю здесь только результаты в возможно кратком обзоре.

Теперь я остановлюсь подробнее на различении обоих родов треугольников: если имеется какой-нибудь сферический треугольник, т. е. «допустимая система значений» величин косинусы и синусы которых удовлетворяют формулам первой ступени и которые поэтому представляют некоторую точку в многообразии то каким образом можем мы решить вопрос о том, является ли этот треугольник собственным или несобственным? С этой целью образуем прежде всего наименьшие положительные вычеты данных чисел по модулю

Косинусы и синусы этих вычетов равны тем же тригонометрическим функциям для так что они в свою очередь образуют сферический треугольник, который мы назовем приведенным или мёбиусовым треугольником, соответствующим первому треугольнику, так как сам Мёбиус не рассматривал треугольников с элементами, превосходящими Решим прежде всего с помощью небольшой таблицы вопрос о том, в каких случаях треугольник Мёбиуса является собственным и когда он принадлежит к числу несобственных. Такую табличку вы можете найти у Вебера и Вельштейна, но только в не столь наглядной форме; там также помещены рисунки различных типов собственных и несобственных треугольников. Мы находим по четыре типа треугольников каждого рода.

I. Собственные треугольники Мёбиуса:

1) 0 сторон углов

2) 1 сторона прилежащих угла

3) 2 стороны заключенный угол

4) 3 стороны угла

II. Несобственные треугольники Мёбиуса:

1) 0 сторон угла

2) 1 сторона но противолежащий угол

3) 2 стороны но противолежащих угла

4) 3 стороны углов

Других случаев, кроме здесь перечисленных, не существует, так что с помощью этой таблички вполне решается вопрос о том, к которому из двух видов принадлежит данный треугольник Мёбиуса.

Согласно сказанному выше переход к треугольнику общего вида а, от соответствующего треугольника Мёбиуса производится посредством следующего рода формул:

причем имеет место теорема: треугольник общего вида оказывается одноименным с приведенным треугольником (т. е. одновременно с ним собственным или несобственным), если сумма шести целых чисел газ есть четное число, и разноименным, если это число нечетное. Таким образом, характер каждого треугольника оказывается вполне определенным.

Площадь сферического треугольника, дополнительные соотношения сферической тригонометрии. Я закончу этот раздел несколькими замечаниями о площади сферических треугольников. Об этом совершенно не упоминают ни Штуди в своих исследованиях, ни Вебер и Вель штейн, но это играет большую роль в моих прежних исследованиях по теории функций о треугольниках, составленных из дуг окружностей. В то время как до сих пор треугольник представлял собою в наших глазах не что иное, как соединение трех углов и трех сторон, удовлетворяющих теоремам косинусов и синусов, теперь речь пойдет об определенной части поверхности, ограниченной этими сторонами и представляющей собой как бы мембрану (пленку), натянутую между тремя сторонами и соответствующими углами.

Рис. 75

Конечно, здесь не имеет смысла рассматривать «внешние» углы треугольника, как мы делали раньше ради симметрии; теперь речь будет идти о тех углах, которые сама мембрана образует у вершин; для краткости мы будем называть их «внутренними» углами треугольника. Я привык обозначать их через (рис. 75). Эти углы можно рассматривать как неограниченно изменяющиеся исключительно положительные величины, так как мы не хотим Исключать и того случая, когда вершины мембраны служат точками свивания (наслаивания) поверхности. Аналогично этому, обозначим абсолютные длины сторон через это тоже неограниченно изменяющиеся положительные величины. Но теперь уже углы и стороны не могут, как раньше, покрывать сами себя неограниченное число раз независимо друг от друга, — иными словами, получать в виде слагаемых произвольные кратные тот факт, что должна существовать одна сплошная мембрана с этими углами и сторонами, находит свое выражение в известных соотношениях между этими множителями при в работе «О нулевых точках гипергеометрического ряда» я назвал эти соотношения дополнительными соотношениями сферической тригонометрии.

Они имеют следующий вид, если через обозначить целую часть числа т. е. наибольшее целое число, не превосходящее

и так как, например, обозначает число слагаемых, равных каждое, содержащихся в стороне , то эти соотношения как раз выражают искомые кратные содержащиеся в сторонах если известны углы с содержащимися в них кратными . В частности, нетрудно видеть, что при положительных положительным может быть, самое большее, одно из трех чисел так что только один из трех аргументов в правых частях равенств может быть больше единицы, а так как при всегда то только одно из трех упомянутых кратных может быть отлично от нуля. Итак, у треугольной мембраны только одна сторона может превосходить а именно, сторона наибольшего угла.

Что же касается доказательства этих дополнительных соотношений, то я хочу только в нескольких словах охарактеризовать ход мыслей в этом доказательстве. Исходят из элементарного треугольника, на который, конечно, всегда можно натянуть мембрану, и из нее получают последовательно мембраны самого общего вида, присоединяя по нескольку раз надлежащим образом мембраны, имеющие форму круга, с точками ветвления в вершинах. Рис. 76 показывает в виде примера — в стереографической проекции — треугольник ABC, полученный из элементарного треугольника присоединением полусферы, ограниченной большим кругом АВ, вследствие чего как сторона АВ, так и угол С по одному разу покрывают сами себя.

Легко видеть, что при этом процессе дополнительные соотношения остаются в силе; оказывается, что это имеет место и для треугольных мембран самого общего вида, какие только можно построить посредством подобных процессов.

Рис. 76

Теперь мы должны уточнить, какое место занимают эти треугольники с дополнительными соотношениями в описанной выше общей теории. Очевидно, они представляют собой только частные случаи, причем — ввиду того, что вообще числа, показывающие, сколько раз стороны и углы покрывают сами себя, вполне произвольны, — такие частные случаи, которые характеризуются возможностью обтянуть треугольник мембраной. Конечно, на первый взгляд это вызывает недоумение: в самом деле, как мы видели выше, все собственные треугольники, даже и те, которые вовсе не удовлетворяют дополнительным соотношениям, образуют один континуум, так что каждый из них может быть получен посредством непрерывного изменения из элементарного треугольника; поэтому казалось бы, что мембрана, натянутая на элементарный треугольник, не может при этом процессе исчезнуть. Объяснение этого затруднения мы получим, если применим принцип Мёбиуса определения знака и к площадям: площадь надо считать положительной или отрицательной в зависимости от того, обходят ли ее в положительном (против движения часовой стрелки) или в отрицательном направлении. Если кривая, пересекая себя, ограничивает несколько частей поверхности, то вся ограничиваемая ею площадь равна алгебраической сумме площадей отдельных частей. На рис. 77 надо брать разность, а на рис. 78 сумму площадей обеих частей. Конечно, эти определения представляют собой лишь геометрическое выражение того, что само собой вытекает из аналитического определения площади.

Применяя эти результаты, в частности, к сферическим треугольникам, найдем, что, действительно, каждому собственному треугольнику можно отнести определенную площадь на сфере, но только при этом при однократном обходе периферии треугольника одни части этой площади приходится обходить в положительном, другие же — в отрицательном направлении, и поэтому при подсчете им следует приписывать различные знаки.

Рис. 77

Рис. 78

Рис. 79

Те треугольники, для которых имеет место дополнительное соотношение, отличаются только тем, что они состоят из одной только мембраны, обегаемой в положительном направлении; этим свойством и объясняется их большое значение для целей теории функций, ради которых я их и приводил раньше.

Теперь я хотел бы пояснить эти вещи на одном примере. Рассмотрим треугольник ABC, изображенный на рис. 79 в стереографической проекции, причем А есть более удаленная от дуги ВС точка пеоесечения больших окружностей В А и СА; вторая точка пересечения обозначена буквой А. Внутренние углы треугольника измеряют поворот стороны АВ до совпадения с ВС и стороны ВС до совпадения с СА; оба они положительны. Наоборот, угол на который надо повернуть сторону СА, чтобы привести ее в совпадение со стороной АВ, надо, согласно правилу Мёбиуса, считать отрицательным; положим Треугольник АВС представляет собой, очевидно, элементарный треугольник с углами которые все положительны. При обходе треугольника ABC в указанном направлении приходится треугольник АВС обходить в положительном, а сферический двусторонник АА в отрицательном направлении, так что за площадь треугольника АВС надо принять согласно условиям Мёбиуса разность этих двух частей сферы.

Это разделение треугольной мембраны на положительную и отрицательную части можно сообразно направлению обхода периферии Представить себе наглядно, принимая, что мембрана перекручена в точке А, так что нижний двусторонник оказывается обращенным своей изнаночной, отрицательной стороной вверх. Нетрудно составить и более сложные примеры в том же роде.

В заключение я хочу показать на этом же примере, что при этом обобщенном определении площади остается в силе элементарная формула площадей сферической тригонометрии. Как известно, площадь сферического треугольника с углами на сфере радиуса 1 равна так называемому «сферическому поскольку Убедимся теперь, что эта формула справедлива и для нашего треугольника ЛВС. Действительно, площадь элементарного треугольника АВС равна из нее надо вычесть площадь сферического двусторонника АА с угловым раствором равную (ибо площадь двусторонника пропорциональна его углу, и при угле в она равна площади поверхности всей сферы, т. е. ). Получается следующая величина площади треугольника

Аналогично этому, если попробовать натянуть мембрану из нескольких кусков собственный треуголь ник с произвольными углами и сторонами и затем определить на основании правила знаков площадь как алгебраическую сумму отдельных частей, то представляется вероятным, что формула окажется справедливой, причем, разумеется, надо рассматривать как подлинные углы мембраны, а не как ее внешние углы.

Относящиеся сюда исследования еще, правда, не выполнены, но, видимо, не представляют очень больших трудностей, и я считал бы весьма желательным, чтобы этим вопросом занялись. Особенно важно было бы выяснить роль несобственных треугольников.

На этом я оставлю область тригонометрии и обращаюсь ко второму важному приложению теории тригонометрических функций, также относящемуся к области школьного преподавания.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление