Элементарная математика с точки зрения высшей, Т.2. Геометрия
 |
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т. 2. Геометрия. М., Наука, 1987, - 416 с. Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах. Второй том посвящен вопросам геометрии — той науки, в развитие которой Ф. Клейн внес особенно заметный вклад. Автор мастерски, в изящной популярной форме, знакомит читателя с вопросами дифференциальной геометрии, неевклидовыми геометриями и другими вопросами. Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников и просто любителей математики. |
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮВВЕДЕНИЕ
ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ
I. ОТРЕЗОК, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЕМ КАК ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Простейшие применения, в частности, двойное отношение.
Площадь прямолинейных многоугольников.
Площади фигур, ограниченных кривыми линиями.
Теория полярного планиметра Амслера.
Объемы многогранников, закон ребер Мёбиуса.
Односторонние многогранные поверхности.
II. ГРАССМАНОВ ПРИНЦИП ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ДЛЯ ПЛОСКОСТИ
Применения к статике неизменяемых систем.
Классификация геометрических величин в зависимости от их поведения при преобразовании прямоугольных координат.
Применение принципа классификации к элементарным величинам.
III. ГРАССМАНОВ ПРИНЦИП ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА
Применение к статике твердых тел.
Наглядно-геометрическое изображение нулевой системы.
Связь с теорией винтов.
IV. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБРАЗОВ ПО ИХ ПОВЕДЕНИЮ ПРИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
Формулы преобразования некоторых элементарных величин.
Пара сил и свободный плоскостной элемент как эквивалентные образы.
Свободный линейный элемент и свободный плоскостной элемент («полярный» и «аксиальный» векторы).
Скаляры первого и второго рода.
Основы векторной алгебры.
О возникновении терминологии и обозначений, используемых в векторном исчислении.
V. ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВ
О различии между аналитической и синтетической геометрией.
Проективная геометрия и принцип двойственности.
Плюккеровы координаты прямой и дальнейшее развитие принципа двойственности.
Грассманово «учение о протяженности»; многомерная геометрия.
Скалярные и векторные поля; векторный анализ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Общие замечания о преобразованиях и их аналитическом изображении.
I. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Применение к теории эллипсоида.
Параллельное проектирование одной плоскости на другую.
Аксонометрия (аффинное отображение пространства с нулевым определителем).
Основная теорема Польке.
II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Геометрическое определение: проективное отображение как коллинеация.
Поведение основных геометрических образов при проективных преобразованиях.
Центральное проектирование пространства на плоскость (проективное отображение с равным нулю определителем).
Рельефная перспектива.
Применение проектирования для вывода свойств конических сечений.
III. ВЫСШИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Инверсор Поселье.
Стереографическая проекция сферы.
2. Некоторые общие картографические проекции
Проекция Меркатора.
3. Наиболее общие взаимно однозначные непрерывные точечные преобразования
Род и связность поверхностей.
Теорема Эйлера о многогранниках.
IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С ИЗМЕНЕНИЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЭЛЕМЕНТА
2. Касательные преобразования
3. Некоторые примеры
Применение касательных преобразований к теории зубчатых колес.
V. ТЕОРИЯ МНИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Мнимые циклические точки и мнимая окружность сфер.
Мнимое преобразование.
Интерпретация по Штаудту самосопряженных мнимых образов.
Полная интерпретация по Штаудту отдельных мнимых элементов.
Взаимное расположение мнимых точек и прямых.
СИСТЕМАТИКА И ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ
I. СИСТЕМАТИКА
Теория групп как основа геометрического классификационного принципа.
Принцип. Кэли: проективная геометрия — это вся геометрия.
2. Отступление в область теории инвариантов линейных подстановок
Систематика теории инвариантов.
3. Приложение теории инвариантов к геометрии
Интерпретация теории инвариантов в проективной геометрии пространства Rn-1.
4. Систематизация аффинной и метрической геометрии на основе принципа Кэли
Включение грассманова принципа детерминантов в инвариантно-теоретическое понимание геометрии. Экскурс о тензорах.
Включение основных понятий метрической геометрии в проективную схему.
Проективная трактовка геометрии треугольника.
II. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
О построении проективной геометрии с последующим присоединением к ней метрической.
1. Построение геометрии на плоскости на основе движений
Привлечения поворотов к построению метрической геометрии.
Вывод окончательных выражений для расстояния и угла.
Введение общих понятий площади фигуры и длины кривой.
2. Другое обоснование метрической геометрии; роль аксиомы параллельности
Аксиома параллельности и теория параллелей; неевклидова геометрия.
Философское значение неевклидовой геометрии.
Включение неевклидовой геометрии в проективную схему.
Общие замечания о современной аксиоматике геометрии.
3. «Начала» Евклида
Содержание 13 книг Евклида.
Обоснование геометрии у Евклида.
Отсутствие аксиом расположения у Евклида; возможность так называемых геометрических софизмов.
«Архимедова аксиома» у Евклида; отступление о «роговидных углах» как о неархимедовой системе.
О ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ
Современные представления и требования.
Критические замечания о традиционной постановке преподавания.
I. ПРЕПОДАВАНИЕ В АНГЛИИ
Традиционный тип преподавания и экзаменов.
«Ассоциация содействия улучшению преподавания геометрии».
Перри и его стремления.
Некоторые учебники, учитывающие требования реформы.
II. ПРЕПОДАВАНИЕ ВО ФРАНЦИИ
«Начала» Лежандра и их значение.
О лежандровой теории параллельных прямых.
Последователи Лежандра.
Реформа преподавания 1902 г.
Влияние «Новых начал» Мере.
III. ПРЕПОДАВАНИЕ В ИТАЛИИ
Более старые учебники геометрии.
Новейшие требования повышенной строгости.
Школа Пеано.
Стремления к реформе.
IV. ПРЕПОДАВАНИЕ В ГЕРМАНИИ
Австрийский план Экснера и Боница (1849); забота о развитии пространственной интуиции.
Перенос этих стремлений в Северную Германию; учебники Хольцмюллера.
Влияние экспериментальной психологии.
Отношение к современному художественному воспитанию.
Шопенгауэрова критика математики; замечания о доказательствах пифагоровой теоремы.
Новейшие воздействия со стороны высшей школы.
Австрийский учебный план 1900 г. и «Курс» Генрици и Трейтлейна.
ПРИМЕЧАНИЯ