Главная > Математика > Элементарная математика с точки зрения высшей, Т.2. Геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Применения к статике неизменяемых систем.

Эти понятия играют в механике, а именно в элементах статики, крайне важную роль; там они уже с давних пор возникли совершенно естественным путем. Сюда относится прежде всего, пока мы оперируем на плоскости, статика плоских твердых систем. А именно, здесь при геометрической трактовке «скользящий вектор» можно рассматривать как полный эквивалент приложенной к системе силы, точку приложения которой ввиду твердости тела можно произвольно передвигать вдоль прямой, содержащей направленный отрезок, изображающий эту силу.

Представьте себе силу вполне в духе старой механики. В точке 2 укреплена веревка, на которую действует тяга, изображаемая по величине отрезком 1 2 (рис. 32). В качестве примера живого характера мышления старых механиков, противоположного современному абстрактному изложению, охотно укажу, что раньше обыкновенно силу изображали рукой, которая тянет веревку.

Координаты вектора X, Y называют компонентами силы, а координату N — моментом вращения вокруг начала О, ибо для расстояния прямой от О находим из ее уравнения величину

а потому действительно равно произведению расстояния на , т. е. на величину силы. Эти три величины, вместе взятые, можно назвать координатами силы, аналитическое определение в каждом случае дает для них и это особенно важно — вполне определенные знаки, которым, разумеется, можно, как и раньше, дать геометрическое истолкование.

При этом, конечно, следует заметить, что ради симметрии формул мы отклонились от наиболее принятого в механике определения знака момента вращения.

А именно, обычно в качестве момента вращения употребляют определитель

составленный из координат начала 2 и координат свободного вектора. Этот определитель, очевидно, противоположен по знаку нашему N. Впрочем, это небольшое расхождение, будучи однажды отмечено, вряд ли может дать повод к недоразумениям.

Первой задачей механики твердого тела является сведение произвольной системы таких сил к одной результирующей; аналитически это сводится к образованию скользящего вектора с координатами

Для геометрического решения этой задачи графостатика развивает свои очень элегантные методы.

А именно, в случае двух сил пользуются просто известным правилом параллелограмма, а во всех прочих случаях прибегают к «многоугольнику сил» и к «веревочному многоугольнику». Таким образом, вообще говоря, для каждой системы сил находят в качестве ее результирующей однозначно определяемый скользящий вектор. Однако все же встречаются исключения; например, в том случае, когда система состоит из двух равных, параллельных и противоположно направленных сил действующих вдоль различных прямых, результирующая имеет компоненты а такие числа, очевидно, не могут быть координатами вектора. Элементарное изложение с этим явлением не может справиться как следует, и потому оно должно всегда считаться с возможностью появления таких несводимых далее так называемых пар сил, которые нарушают простоту и общую приложимость теорем. Однако нетрудно и эти кажущиеся исключения тоже охватить нашей системой, если чисто формально применить наши предыдущие формулы к компонентам

Тогда для величины результирующей получится значение а для ее расстояния от начала — выражение

Следовательно, если бесконечно увеличивать расстояние обыкновенной силы от начала О и приближать к нулю ее величину так, чтобы произведение представляющее собой момент вращения, оставалось конечным, то компоненты этой силы перейдут как раз в упомянутые исключительные значения. Потому результирующую пары сил можно назвать бесконечно малой силой, действующей на бесконечно большом расстоянии от начала, с конечным моментом вращения. Эта фикция очень удобна и полезна для прогресса науки; она вполне соответствует обычному введению в геометрию бесконечно удаленных элементов. Пользуясь этим расширением понятия силы, можно прежде всего высказать такое предложение, не допускающее никаких исключений:

Любое число сил, действующих в одной плоскости, всегда имеет своей результирующей некоторую силу. А элементарное изложение должно всегда в этом случае тащить за собой еще и альтернативу пары сил.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление