Главная > Математика > Элементарная математика с точки зрения высшей, Т.2. Геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Наглядно-геометрическое изображение нулевой системы.

Постараемся теперь дать как можно более ясную картину этой нулевой системы, причем, конечно, не может быть и речи о геометрической «фигуре» в буквальном смысле этого слова, ибо нулевые прямые бесконечно многократно покрывают все пространство. Тем не менее можно очень хорошо представить себе их группировки. При этом, следуя избранному в этом курсе методу, мы постараемся привести систему координат в как можно более удобное положение; это, будет достигнуто, если выберем за ось центральную ось динамы. Поскольку динаму можно, как мы знаем, представить в виде результирующей для системы, состоящей из одной силы, действующей вдоль центральной оси, и одной пары сил с параллельной ей осью, то при указанном выборе оси должны обратиться в нуль четыре координаты динамы, тогда как Z изобразит величину названной отдельной силы, а N — момент вращения упомянутой пары сил относительно ее оси.

Поэтому параметр динамы оказывается равным

Уравнение линейного комплекса в этой новой системе координат получает следующий простой вид:

или после деления на

Этот вид уравнения мы и кладем в основу наших дальнейших исследований. Если — две точки, взятые на одной из прямых нулевой системы, то а потому для каждых двух точек, лежащих на одной нулевой прямой, из (1) получается условие

Если фиксировать точку то (2) представит собой уравнение, связывающее координаты всех точек которые лежат вместе с на одной какой-нибудь прямой нулевой системы; заменяя для ясности текущими координатами х, у, z, найдем, что все такие точки заполняют плоскость, определяемую уравнением

Эта плоскость проходит через точку ибо уравнение (2) удовлетворяется при Этим мы доказали, что через каждую точку пространства проходит бесчисленное множество нулевых прямых, которые образуют плоский пучок лучей, заполняющий плоскость (2). Наша задача будет решена, если мы составим себе ясное представление о положении этой плоскости («нулевой плоскости»), принадлежащей каждой точке Оба выражения входящие в (2), имеют свойство оставаться неизменными при параллельных переносах пространства вдоль оси , а также при поворотах вокруг этой оси.

В самом деле, указанные переносы оставляют неизменными х и у (а следовательно, и N), а также разность ; повороты же не оказывают на координаты z (следовательно, и на Z) никакого влияния и оставляют также неизменной N как величину площади в плоскости х, у.

Поэтому при винтовых движениях пространства вокруг центральной оси (т. е. оси z) и при параллельных переносах пространства вдоль этой оси уравнение (2), а вместе с ним и определяемая им нулевая система переходят в себя.

Эта теорема облегчает нашу задачу необычайно: если только нам известна для каждой точки положительной оси соответствующая ей нулевая плоскость, то тем самым мы знаем также нулевую плоскость, принадлежащую любой точке пространства. Ибо, сдвигая положительную полуось вдоль оси z и поворачивая ее вокруг последней, можно в любую точку пространства перевести некоторую точку полуоси при этом, согласно нашей теореме, принадлежащие этим точкам нулевые плоскости должны совпасть. Другими словами: нулевые плоскости точек всякой полупрямой, перпендикулярной центральной оси, имеют относительно этой последней и относительно полупрямой положение, не зависящее от выбора этой полупрямой.

Поэтому, ограничиваясь осью полагаем и получаем из (2) уравнение нулевой плоскости, принадлежащей точке с абсциссой

Эта плоскость проходит через саму ось ибо ее уравнение удовлетворяется тождественно при (рис. 36). Переписав уравнение в виде мы заключаем, что угол наклона этой плоскости к горизонтальной плоскости (т. е. к плоскости ) имеет следующий тангенс:

поэтому теперь положение нашей плоскости является вполне определенным; на рис. 37 изображен ее след на вертикальной плоскости

В связи со сказанным ранее мы можем этот результат сформулировать совершенно независимо от того или другого выбора системы координат в таком виде: каждой точке, находящейся на расстоянии от центральной оси (которую будем считать вертикальной), принадлежит в нулевой системе плоскость, которая проходит через перпендикуляр, опущенный из этой точки на центральную ось, и наклонена к горизонтальной плоскости под углом, тангенс которого равен

Рис. 36

Рис. 37

Рис. 38

Следовательно, при передвижении этой точки вдоль какой-либо полупрямой, перпендикулярной центральной оси, принадлежащая этой точке плоскость нулевой системы при горизонтальна, а при возрастании поворачивается в ту или другую сторону (в зависимости от знака числа к), асимптотически приближаясь при неограниченном возрастании к вертикальному положению.

Я могу вам наглядно представить эти отношения на модели Шиллинга (рис. 38). Здесь на подвижном стержне, который может поворачиваться вокруг центральной оси и передвигаться вдоль нее, помещен плоский лист, который надлежащим образом поворачивается при перемещении вдоль стержня.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление