Главная > Математика > Элементарная математика с точки зрения высшей, Т.2. Геометрия
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Стереографическая проекция сферы.

Как частный случай преобразования при помощи обратных радиусов можно рассматривать стереографическую проекцию, которая имеет громадное значение в применениях. Мы получим ее следующим образом.

7) Рассмотрим такую сферу, которая переводится нашим преобразованием (3) в неподвижную плоскость По третьей из формул (3) уравнением этой сферы будет

его можно переписать так:

Искомым оригиналом для плоскости является, следовательно, сфера с центром в точке оси и радиусом, равным ; она проходит через нулевую точку и касается картинной плоскости (рис. 72).

Подробности взаимоотношений между плоскостью и сферой можно сделать вполне наглядными, если воспользоваться для отыскания соответственных точек связкою лучей, исходящих из нулевой точки; я приведу здесь без доказательства только следующие теоремы:

1) Отображение является взаимно однозначным без каких-либо исключений, если рассматривать бесконечность на плоскости как одну точку, соответствующую точке О сферы.

Рис. 72

2) Окружностям на сфере соответствуют окружности на плоскости, в частности, окружностям на сфере, проходящим через О, соответствуют на плоскости окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку, т. е. прямые линии.

3) Соответствие между обеими поверхностями сохраняет углы; оно, как говорят, конформно.

То, что эта стереографическая проекция имеет в теории функций крупнейшее значение, всем вам должно быть известно; я напомню, что в предыдущем курсе мы уже очень часто применяли ее с большой пользой. Из прикладных наук, в которых она играет не менее важную роль, следует здесь особенно отметить географию и астрономию; она была известна уже античным астрономам, и еще теперь вы найдете в каждом атласе изображения полушарий и полярных стран земли в стереографической проекции. Из этой же прикладной области я заимствую еще несколько примеров.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление