Главная > Разное > Математика в биологии и медицине
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В разд. 1.3 уже подчеркивалось значение динамических процессов изменения и развития для любых биологических исследований. Мы видели, что некоторые важные свойства растущих популяций можно выделить из очень сложной совокупности реальных свойств и описать с помощью относительно простых дифференциальных уравнений. В приведенных примерах эти уравнения легко разрешались и давали экспоненциальные и логистические кривые. Мы уже указывали, что, хотя для построения математических моделей требуется вводить значительные упрощения, этот метод позволяет глубже проникнуть в суть биологических процессов и создает основу для дальнейших исследований. Серьезный недостаток детерминистских моделей, рассмотренных в разд. 1.3, заключается в том, что в них игнорируется естественная биологическая изменчивость (в отличие от изменений, возникающих за длительный период) или, во всяком случае, предполагается, что она пренебрежимо мала. Когда число объектов достаточно велико, детерминистские модели могут оказаться вполне удовлетворительными (в пределах налагаемых ограничений).

Однако при рассмотрении многих важных ситуаций, например эпидемий или взаимодействия между видами, необходимо учесть, что число индивидуумов в определенные моменты времени может стать весьма небольшим. И в этих случаях статистические колебания обязательно будут оказывать значительное влияние на протекание всего процесса.

Для построения демографических прогнозов структуры населения детерминистский анализ, основанный на скоростях роста численности в различных возрастных группах мужчин и женщин, может оказаться достаточно точным. Возможность предсказывать численность населения на несколько десятилетий вперед с точностью до нескольких сотен единиц в большинстве случаев вполне удовлетворит экономистов и социологов. Допустим теперь, что мы пытаемся провести количественное исследование десяти пар (самцов и самок) какой-нибудь редкой птицы. Совершенно ясно, что случайность играет важнейшую роль в отношении таких факторов, как плодовитость, размер выводка, наличие пищи, климатические условия, конкуренция, болезни, несчастные случаи и гибель. При любом описании возможных изменений, происходящих в такой небольшой популяции, необходимо учитывать, что процесс может пойти в различных направлениях. Это не означает, что точное математическое описание таких ситуаций невозможно. Отсюда лишь следует, что для описания общей картины возможных событий и их вероятностей необходима стохастическая модель . Иными словами, нужно исходить из того, что в каждый данный момент времени существует не единственное значение размера популяции (как предполагалось в детерминистской модели), а некоторое распределение вероятностей этих значений. Таким образом, в отличие от рассмотренного ранее детерминистского процесса в данном случае мы имеем вероятностный (стохастический, или случайный) процесс.

Аналогичные соображения применимы и к описанию «эпидемии» в небольшой группе, например в семье, где имеется четверо детей. В такой маленькой группе не представляет большого интереса даже среднее число случаев через определенный промежуток времени.

Но если бы мы смогли вычислить вероятность сроков заболевания каждого ребенка, учитывая особенности участия в эпидемическом процессе восприимчивых индивидуумов, носителей инфекции и тех, кто был изолирован или выздоровел, а также принимая во внимание существование латентного периода и различную продолжительность заразного периода, то мы были бы на пути к такому описанию всего процесса, которое бы имело определенный биологический смысл. Такая модель не только послужила бы средством исследования эпидемии, но и создала бы прочную основу для вероятностного предсказания возможности появления новых случаев. Более того, теории распространения эпидемий в популяции удалось бы более надежно обосновать отдельными клиническими и эпидемиологическими наблюдениями. Гл. 9 специально посвящена математической теории эпидемий, а в гл. 8 проводится более подробное обсуждение некоторых простых задач, связанных с ростом и развитием популяции. В данном разделе мы лишь в общих чертах покажем, с чем связана попытка описать весь процесс с помощью распределений вероятностей.

Рассмотрим кратко стохастический аналог упрощенного процесса роста популяции с учетом только размножения. При детерминистском подходе мы считали бы, что существует определенная скорость размножения такая, что численность популяции за время увеличивается на . Это приводит к экспоненциальному закону

(где а — численность популяции при уже встречавшемуся нам в формуле (1.2). При включении вероятностных элементов в эту ситуацию возможны различные варианты. Простейшим является допущение о том, что вероятность появления одного потомка у данного индивидуума в интервале времени равна Таким образом, вероятность появления одного нового индивидуума в целой популяции за время равна . Теперь мы можем оперировать непосредственно с фактическим дискретным размером популяции и обозначим через вероятность того, что в момент t в популяции имеется ровно индивидуумов. Размер популяции в момент t можно связать с размером популяции в момент с помощью довольно элементарных рассуждений. Так, если число индивидуумов в момент равно , то это означает, что либо в момент t было индивидуумов и за время это число не изменилось, либо в момент t их было () и за время появился еще один. Комбинируя эти вероятности, можно записать соотношение

откуда путем перестановки членов и деления на получаем дифференциальное уравнение

Это уравнение справедливо при . Легко показать, что соответствующее уравнение для несколько проще и имеет вид

так как в том случае, когда процесс начинается при значении отсутствует член, содержащий

Системы дифференциально-разностных уравнений, аналогичных уравнению (2.7), которые можно рассматривать как уравнения движения для случайного процесса, иногда довольно трудно разрешить в общем виде. Некоторые из методов решения таких систем будут проиллюстрированы более детально в гл. 8 и 9. Здесь же мы рассмотрим относительно элементарный подход. Наиболее простой способ состоит в непосредственном интегрировании уравнения (2.7) с учетомтого обстоятельства, что это дает . Затем подставляем полученный результат в уравнение для интегрируем, используя начальное условие и находим, что . В свою очередь этот результат подставляется в последующее уравнение, и весь процесс повторяется. После вычисления нескольких последовательных членов легко записать результат в общем виде:

Трудность состоит в том, что при таком способе алгебраические выкладки становятся все сложнее и сложнее. Лучше поступать следующим образом.

Поскольку для интегрирования уравнения (2.6) необходимо умножить каждый член на интегрирующий множитель удобно ввести обозначение тогда, заменив уравнение (2.6) уравнением

можно записать его в виде

В целях дальнейшего упрощения заменим переменную t переменной Т, где

Теперь имеем

Интегрируя уравнение (2.9) и выбирая постоянную интегрирования из условия при получаем формулу для преобразования переменных в явном виде:

Теперь очень легко проинтегрировать последовательно систему уравнений (2.10), используя начальные условия: при . Сразу же получаем

Очевидно, что

Подставляя соотношение (2.11) в уравнение (2.12) и учитывая, что непосредственно получаем общее решение (2.8).

Выражение (2.8) определяет фактическое распределение вероятностей для любого данного момента времени, заменяющее при вероятностном описании то единственное значение которое рассматривалось в детерминистской модели. Тем, кто знаком с биномиальным распределением, известно, что выражение (2.8) является частным случаем этого распределения. С помощью стандартных выражений можно найти математическое ожидание и дисперсию:

Эти величины можно получить, хотя и с большим трудом, непосредственно из формулы (2.8). Кроме того, существуют более общие методы вычисления таких статистик, как математическое ожидание и дисперсия, без нахождения всего распределения. Эти методы иллюстрируются в гл. 8 и 9. Такой подход может оказаться крайне полезным в том случае, когда все распределение вычислить трудно или невозможно.

Легко заметить, что математическое ожидание (2.13) совпадает с детерминистским средним (2.5). Таким образом, при большом числе индивидуумов детерминистское описание будет удовлетворительно заменять любую стохастическую модель, в которой основное внимание уделяется нахождению средних значений . С другой стороны, когда число индивидуумов мало, например когда начальный размер популяции а составляет всего лишь несколько единиц, изменчивость, характеризуемая дисперсией (2.14), может быть весьма значительной. Вычисление математических ожиданий часто используют в качестве первого шага при описании случайных процессов; это, очевидно, удобно, когда детерминистское среднее, которое вычислить легче, имеет такое же значение. Однако, как уже указывалось ранее, это бывает далеко не всегда, и на этот случай полагаться не следует.

Интерпретация выражения (2.8) требует известной осторожности. При детальном рассмотрении какой-либо определенной популяции, для которой подходит принятая модель, в каждый момент времени мы, разумеется, будем наблюдать только одно численное значение. График роста популяции обнаружит значительные колебания. Возникает вопрос, каким образом эти колебания связаны с распределением вероятностей. Смысл выражения (2.8) состоит в том, что если имеется некоторое большое число популяций и в начальный момент численность каждой из них равна а, то доля этих популяций, имеющих в момент t численность , теоретически равна с математическим ожиданием и дисперсией Кривая роста любой отдельно взятой популяции может значительно отклоняться от кривой математического ожидания, хотя последняя совместно с дисперсией может все же служить некоторым показателем изменчивости, характерной для данного процесса.

Мы рассмотрели некоторые математические детали стохастической модели простейшего процесса роста популяции (с учетом только размножения) для того, чтобы показать характер подхода, используемого для описания процессов со значительными элементами случайности. В более общем случае, когда учитывается гибель особей или какие-либо другие факторы, вызывающие уменьшение численности, появляется по крайней мере один новый аспект, а именно возможность вымирания популяции.

Так, простейшее детерминистское описание популяции, учитывающее как размножение, так и гибель, приводит к уравнению (1.1), где — средняя скорость роста. Если скорость размножения превышает скорость гибели, то — положительная величина, и это детерминистское уравнение показывает, что численность популяции экспоненциально растет. Но при стохастическом описании всегда существует некоторая вероятность вымирания популяции в результате случайной гибели достаточно большого числа особей. (Разумеется, при отрицательном m размер популяции, согласно детерминистскому описанию, постепенно уменьшается до нуля.) Вероятность вымирания является важной характеристикой процесса, которая не учитывается в детерминистской модели.

Как будет показано в гл. 9, где рассматривается теория эпидемий, бывают и другие ситуации, в которых стохастический подход приводит к совершенно иным результатам, нежели детерминистский. Например, детерминистская модель абсолютно непригодна для описания повторяющихся вспышек эпидемий, так как она предсказывает затухающие колебания, которые на практике не наблюдаются; в то же время стохастическая модель предсказывает как раз то, что наблюдается в действительности, а именно повторяющуюся последовательность незатухающих вспышек различной интенсивности.

Из этого краткого изложения очевидно, что теория случайных процессов играет важную роль при изучении биологических явлений. Ясно также, что для построения даже очень простых стохастических моделей может потребоваться непредвиденно большой объем математических выкладок. При попытке построить более реалистические модели положение еще более усложняется. Например, рассматривая выше процесс роста популяции с учетом только размножения, мы приняли очень удобное допущение о том, что вероятность появления потомка у некоторого отдельно взятого индивидуума за время равна Можно легко показать, что это означает, будто интервалы времени от момента рождения до момента размножения имеют экспоненциальное распределение . На самом деле такое распределение описывает процессы, обладающие большей изменчивостью, чем это обычно встречается в природе. Например, для бактерий лучшее приближение к действительности обеспечивает одновершинная кривая, почти совпадающая с кривой нормального распределения. Поэтому нужно быть готовым к значительному усложнению стохастических моделей, если мы хотим, чтобы они достаточно точно описывали реальные явления.

Здесь возникает двойное затруднение. С одной стороны, сильно упрощенная стохастическая модель весьма полезна в том отношении, что она сразу дает некоторое представление о том, что нового (по сравнению с детерминистским описанием) дает вероятностная модель.

С этим мы сталкиваемся, например, в теории эпидемий при рассмотрении больших популяций. Но, с другой стороны, статистическую проверку адекватности модели и оценку тех ее параметров, которые имеют биологический смысл, стоит производить лишь для достаточно реалистичных моделей. В случае эпидемий это можно сделать, рассматривая отдельные небольшие группы индивидуумов (семьи). Однако обычно более реальные и более сложные модели приводят к громоздким математическим выкладкам. Эта проблема будет разрешаться частично за счет новых достижений в математике, особенно в области теории аппроксимаций. В этом плане трудно переоценить значение современных быстродействующих вычислительных машин. С одной стороны, они позволяют получить численные решения очень сложных систем уравнений, описывающих какой-либо реальный случайный процесс. С другой стороны, они открывают широкие возможности для исследования самих математических моделей. В этом случае вычислительная машина на основе математической модели строит большое число искусственных реализаций процесса, а затем с некоторой приемлемой точностью вычисляет значения математического ожидания, дисперсии и т. п. (разд. 2.5).

В этом кратком изложении роли случайных процессов в биологии мы ограничились рассмотрением таких процессов, в которых время можно считать непрерывным. Однако часто бывает более удобно или целесообразно оперировать с дискретным временем, как, например, при рассмотрении популяций, в которых последовательные поколения не перекрываются. Кроме того, при аппроксимации процессов с дискретными переменными диффузионными процессами как размер популяции, так и время оказываются непрерывными Ч В настоящее время существуют большие возможности выбора самых разнообразных моделей, и для любого исследователя, занимающегося проблемами биологии или медицины, весьма желательно хотя бы поверхностно познакомиться с различными вариантами. Относительно простое (и нестрогое) изложение элементов теории случайных процессов в рамках прикладной математики можно найти в другой книге автора [9]. Более строго эта теория изложена в книгах Бартлетта [11], Баруча-Рида [13] и Парцена [50], а в книге Гарленда [31] приводятся некоторые конкретные приложения теории к биологии и медицине.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление