Главная > Разное > Математика в биологии и медицине
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

Моделирование, о котором упоминалось в предыдущем разделе, представляет собой по существу статистический метод исследования выборочных распределений. Когда некоторый случайный процесс удается полностью описать с помощью математической модели, то при вычислении математических ожиданий, дисперсий и вероятностей автоматически полностью учитывается вся область возможных изменений. При исследовании методом физического моделирования получают достаточно большое число возможных реализаций рассматриваемого процесса, а затем на основе этой ограниченной выборки моделированных наблюдений вычисляются искомые величины. Разумеется, эти величины не будут получены с абсолютной точностью, характерной для чисто аналитических методов, а, как и все выборочные статистики, будут иметь определенную погрешность, характеризуемую соответствующей средней квадратической ошибкой. Вследствие того что в результаты, получаемые при физическом моделировании, вносится некоторая погрешность за счет случайного характера выборок, оно дает в известной степени смазанное представление о процессе. Кроме того, при таком моделировании приходится использовать фиксированные значения параметров (таких, как размер популяции, скорости размножения и гибели, число наблюдаемых поколений и т. д.). Поэтому, для того чтобы достаточно полно охватить различные комбинации значений параметров, при физическом моделировании может потребоваться очень большое число реализаций процесса. Но даже и в этом случае может оказаться, что наиболее существенные соотношения между различными параметрами модели выявить не удастся. В то же время чисто математическое исследование, если оно выполнимо, позволяет более плодотворно и всеобъемлюще раскрыть основную структуру и смысл всего процесса. По этим причинам часто говорят, что применение физического моделирования означает признание математической несостоятельности. Отчасти это, разумеется, справедливо, но в ответ можно сказать, что во многих случаях полные и изящные математические решения удается получить лишь для чрезвычайно упрощенных моделей. Поэтому для правильного использования физического моделирования нужно знать, когда оно действительно необходимо для дополнения чисто теоретических исследований. На практике может оказаться, что результаты какого-то модельного опыта подскажут, в каком конкретном направлении следует проводить новые теоретические исследования, и таким образом будет обеспечен синтез этих двух различных подходов.

Как подчеркивается в гл. 8, упрощенные стохастические модели роста популяции, построенные с учетом только процессов размножения и гибели, крайне полезны в том отношении, что они позволяют сразу увидеть, со свойствами какого рода мы столкнемся в той или иной экологической задаче, отказываясь от негибких детерминистских моделей и вводя ряд вероятностных элементов.

Однако практическая применимость таких упрощающих допущений, как, например, экспоненциальное распределение величин, характеризующих продолжительность жизни или отсутствие латентного периода при развитии инфекционного заболевания, по-видимому, весьма ограниченна. Принимая эти допущения, мы можем получить лишь некоторое общее представление о процессе, но при детальном исследовании какой-либо реальной ситуации они неприменимы, в частности потому, что не позволяют оценить биологически важные параметры.

Для оценки этих параметров необходимо, чтобы модель была в достаточной степени реалистичной. Возможно, придется допустить, что значения продолжительности жизни имеют приближенно нормальное или, скажем, гамма-распределение; что каждая инфекция складывается из латентного и клинического периодов, имеющих некоторое соответствующее совместное распределение; что популяции имеют определенную структуру с четко выраженными возрастными и половыми группами, причем каждая такая группа имеет свои особые характеристики; что имеет место некоторая пространственная дифференциация популяции, которую необходимо принимать во внимание, и т. д. Как только предпринимается хотя бы малейшая попытка ввести эти факторы в исходную математическую модель, обычно исключается возможность получить математические выражения в явном виде или, во всяком случае, довести выкладки до конца. И все же исключительно важно уметь построить такую более сложную математическую модель, поскольку только она может служить основой для точного рационального рассмотрения проблемы. В некоторых случаях удается получить удобные математические аппроксимации, однако обычно единственным способом добиться успеха является моделирование на вычислительной машине.

Физическое моделирование применяется при исследовании самых разнообразных биологических и медицинских явлений: взаимодействия между видами, эволюционного поведения генетических систем, распространения и повторных вспышек эпидемий, функционирования нейронных сетей и других физиологических систем и т. п. Другая плодотворная область применения моделирования — исследование операций, о котором уже кратко упоминалось в разд. 1.4. Более подробно исследование операций рассматривается в гл. 4, где нас будут интересовать в основном административные и организационные задачи.

Если такие задачи и поддаются реалистической математической формулировке, то она обычно оказывается довольно сложной, так как должна учитывать множество самых разнообразных случайных событий. Здесь редко удается получить аналитически разрешимые математические уравнения, и реальный прогресс может быть достигнут только с помощью моделирования. Другие аспекты физического моделирования в задачах исследования операций рассматриваются в разд. 4.3. В гл. 12 излагаются некоторые конкретные примеры применения методов исследования операций в медицине, в частности вопросы, связанные с проектированием и деятельностью больниц и организацией амбулаторного приема больных.

Термин «метод Монте-Карло» часто используется как синоним «стохастического моделирования» (на вычислительных машинах) хотя первоначально он отражал логически совсем иную идею. Выше мы говорили о физическом моделировании, при котором реализации стохастической модели по своей физической природе были точно такими же, как и явления в моделируемом объекте. В отличие от такого физического моделирования метод Монте-Карло (происхождение этого термина довольно очевидно) был разработан в годы второй мировой войны для решения вероятностными методами очень сложных математических уравнений, получающихся главным образом в чисто детерминистских задачах. Метод Монте-Карло состоит в отыскании такой вероятностной задачи, решение которой приводит к тем же уравнениям, что и исследуемая детерминистская задача, после чего решение этой вероятностной задачи находится с помощью выборочных экспериментов, проведение которых по существу и есть моделирование. Простейшим примером может служить вычисление площади, ограниченной некоторой плоской замкнутой кривой. Построим вокруг этой кривой квадрат площадью А и с помощью обычного статистического метода произведем случайный выбор точек, лежащих внутри квадрата. Если доля точек, лежащих внутри данной кривой, равна , то служит оценкой площади, ограниченной этой кривой. Эту идею можно легко обобщить на случай многомерных задач, для которых обычные числовые методы могут оказаться очень трудоемкими и для получения ответа потребуется огромное число точек. Кроме того, точность этих методов пропорциональна лишь где d — размерность задачи. В отличие от числового подхода метод Монте-Карло позволяет получить некоторые результаты при любых значениях и дает оценки с точностью, пропорциональной которая при больших очень высока.

На основе моделирования возник ряд новых важных методов. Прекрасным пособием для знакомства с этим предметом может служить книга Точера [62]. Более конкретные приложения метода Монте-Карло изложены в книге Хэммерсли и Хендскома [32].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление