Главная > Разное > Математика в биологии и медицине
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.4. МНОГООБРАЗИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

Как мы видели, наука сильна своим операционным и прагматическим подходом. Все, что «работает», годится, по крайней мере в настоящее время. Противоположный по своему характеру подход, присущий науке (его можно назвать эстетическим), - это поиск логического единства, стройности и простоты. Именно этот поиск служит постоянным стимулом новых идей как в области теоретических исследований, так и в области эксперимента. Присущи ли вселенной внутренняя простота и единство или же эти допущения можно рассматривать лишь как удобные первые приближения для пытливых умов — все это составляет хорошо известный предмет философских споров. Каков бы ни был ответ, несомненно одно — что важнейшими составными частями научного процесса в целом является поиск общих законов и объяснений, устранение очевидных противоречий, построение моделей, дающих полное описание различных частных явлений, разработка теорий, имеющих универсальное применение и справедливых в общем случае, и т. п. Существует определенное диалектическое единство мысли и действия, которое можно сознательно и целеустремленно использовать.

Часто обнаруживается, что исследования, ведущиеся на стыке нескольких научных дисциплин, оказывают особенно плодотворное воздействие на широкий круг проблем. Именно такой областью является генетика, которая связана не только с наследственностью, но и с физиологией, биохимией, экологией, эмбриологией, психологией, патологией, судебной медициной и т. д., не говоря уже о множестве математических методов, которые были разработаны и используются в генетических исследованиях. Таким предметом является и сама прикладная математика.

Попытки решить частные задачи, возникающие в каких-то конкретных обстоятельствах, могут привести к разработке общих математических идей, которые не только позволяют решить первоначальные задачи, но и оказываются применимыми в совершенно иных областях. Так называемые уравнения математической физики и связанные с ними специальные функции находят применение в самых различных биологических и социологических задачах: гипергеометрические функции и многочлены Якоби встречаются в теории распространения эпидемических заболеваний; функции Бесселя позволяют исследовать процессы массового обслуживания в медицинских учреждениях; гамма-функции используются для определения наиболее вероятного диагноза.

Значение математики для науки заключается в том, что она дает исключительно точный язык и систему понятий, позволяющие исследовать самые разнообразные вопросы. Мы начинаем с простого счета и измерения, а затем постепенно вводим все более сложные идеи, соответствующие требованиям стоящих перед нами задач. В предыдущих двух главах мы рассмотрели некоторые возможные приложения математики в биологии и медицине. Теперь уже должно быть ясно, что, хотя в некотором смысле математика является единым предметом, она охватывает очень широкую область идей, понятий, приемов и методов. Эти возможности математики уже широко используются в точных науках, особенно в физике, но значение ее для биологии и медицины еще только начинают оценивать по достоинству.

Математический подход не только облегчает точное количественное описание определенной задачи путем построения той или иной подходящей модели, но и дает (или может дать) средство к решению этой задачи. В разд. 3.2 мы уже рассмотрели в общем плане значение математических моделей. Трудности, возникающие в различных частных случаях, более полно будут рассмотрены во второй части книги. В данный момент следует подчеркнуть, что центральной проблемой моделирования является построение самой модели. Как правило, достаточно четкая формулировка задачи всегда дает возможность получить решение в той или иной форме. Математические уравнения могут быть неразрешимы аналитическим путем, однако ценные с научной точки зрения результаты можно получить и с помощью соответствующих аппроксимаций, численных расчетов для большого числа частных случаев, моделирования и т. д. Если же задача сформулирована неудовлетворительно или принятая модель недостаточно реалистична, то при любом количестве абсолютно точных математических выкладок будет получен ошибочный результат. Основной проблемой прикладной математики является выбор первоначальной математической модели, и ни в одной области знания это не чувствуется так остро, как в биологии и медицине.

Итак, допустим, что построена некая приемлемая и имеющая смысл математическая модель, позволяющая начать детальные исследования. Для того чтобы их выполнить, необходимо знакомство с методами, пригодными для этой цели. Вероятно, лучше всего поручить эту работу профессиональному математику. Целесообразно вводить его в курс дела еще в процессе построения модели, так как тогда он полнее уяснит себе содержание задачи и ему легче будет интерпретировать получаемые результаты. Однако нередко биологи и врачи, имеющие математическую подготовку, предпочитают хотя бы часть работы выполнять самостоятельно, обращаясь за консультацией к специалистам в области биометрии и математической биологии. Тем, для кого математика не является основной специальностью, полезно еще раз напомнить, что существует большое число разнообразных и дополняющих друг друга методов решения математических задач. Какой бы безнадежной с математической точки зрения или недоступной ни казалась модель, почти всегда имеется какой-либо способ ее исследования.

В качестве примера, иллюстрирующего диапазон методов, имеющихся в нашем распоряжении, кратко остановимся на одной задаче теории эпидемий, более детально описанной в разд. 9.2.

Рассмотрим изолированную группу равномерно общающихся друг с другом восприимчивых индивидуумов. В эту группу попадает единственный зараженный индивидуум, в результате чего заболевание начинает распространяться. В простейшем случае допускается, что случаи выздоровления не имеют места (или наступают через очень длительный промежуток времени и ими можно пренебречь, поскольку рассматриваются начальные стадии болезни). Не представляет труда построить простую стохастическую модель, до некоторой степени аналогичную простой модели процесса размножения (разд. 2.4). Внутреннюю динамику процесса описывает система дифференциально-разностных уравнений, подобная системе (2.6). Точные аналитические решения этой системы возможны, но они очень сложны. Поскольку речь идет о существующих методах решения, одним из них является последовательное решение дифференциальных уравнений, начиная с простейшего. К сожалению, при этом для отыскания решения в общем виде требуются очень громоздкие и длительные математические выкладки. Более разумный путь — использование преобразований Лапласа искомых вероятностей, так как оперировать с ними весьма удобно; правда, при обратном переходе к вероятностям возникают определенные трудности, но имеются некоторые математические приемы, позволяющие облегчить эту работу. Другой возможный подход — применение какой-либо производящей функции (такого многочлена от переменной что коэффициент при равен ), т. е. вероятности того, что в момент будет наблюдаться случаев заболевания).

Это позволяет привести систему дифференциально-разностных уравнений к одному дифференциальному уравнению в частных производных параболического типа второго порядка, которое может быть точно решено, хотя и с некоторыми трудностями. С помощью этого единственного уравнения можно, вероятно, определить многие свойства исследуемого процесса, однако это еще дело будущего.

Кроме упоминавшихся здесь чисто аналитических исследований (которые подходят для простой эпидемии без случаев выздоровления, но неприемлемы для большинства более реалистических моделей), можно также рассмотреть численные решения различных уравнений. Этот подход приобретает тем большее значение, чем сложнее модель. Так, систему дифференциальных уравнений можно решить, используя стандартные методы численного интегрирования, например метод Рунге — Кутта. Кроме того, численные решения дифференциальных уравнений в частных производных для производящей функции можно получить с помощью релаксационного метода или итерационного метода Кранка — Никольсона и т. д. Все эти методы требуют применения электронных вычислительных машин, но даже и это далеко не всегда обеспечивает требуемую точность. Еще одна возможность, для практического использования которой также необходима вычислительная техника, — это моделирование, описание которого давалось в разд. 2.5. Моделирование имеет свои недостатки, однако это очень гибкий метод, и в будущем он может получить более широкое распространение. Вопросы, связанные с применением вычислительной техники при моделировании, более подробно рассматриваются в разд. 5.5.

Из всего сказанного видно, сколь велико число различных способов получения математического решения любой данной задачи. Что именно можно сделать в каком-либо конкретном случае, зависит от математических знаний и навыков исследователя и от наличия вычислительной техники. Такое многообразие методов служит гарантией того, что в будущем настойчивые усилия будут вознаграждены хотя бы частичным успехом.

Еще одно следствие широты математической теории состоит в том, что не только существует большое число способов решения данной задачи, но и сама задача может быть сформулирована различными способами, с использованием различных понятий, что в высшей степени полезно. В разд. 3.3 мы уже рассматривали различные методы получения выводов на основе имеющихся данных. В частности, мы отмечали важность применения в отдельных случаях теории статистических решений, которая создает вполне реалистическую основу для расширения исследований сложных административных и организационных проблем (не говоря уже о более частных приложениях к статистической теории).

Таким образом, новый подход, основанный на новых понятиях, обеспечивает значительное продвижение вперед.

Возможность переноса идей из одной области приложений в Другую всегда крайне привлекательна. Если это делается умело, то часто дает новые плодотворные результаты. В то же время необходимо проявлять осторожность и не «вгонять» исследуемый материал в неподходящие для него рамки. Как известно, статистический подход к планированию и анализу экспериментов находит особенно широкое применение в агрономической науке, где он существенно необходим и в высшей степени эффективен. Многие биологические эксперименты, проводимые как в полевых, так и в лабораторных условиях, по своему общему характеру не очень сильно отличаются от агрономических. В то же время, например, при клинических испытаниях лекарственных препаратов возникает ряд дополнительных трудностей, которые не всегда легко разрешить в рамках методов, применяемых в агрономии. Некоторые из этих трудностей связаны с множеством побочных эффектов и возможными отдаленными последствиями, проявляющимися при назначении того или иного препарата; другие связаны с моральными и этическими проблемами, возникающими при проведении экспериментов на человеке, и необходимостью найти и применить возможно быстрее наилучший метод лечения в каждом конкретном случае (см. разд. 2.3).

В последние годы много говорят о применении теории информации. Ни один инженер, физиолог или психолог не сомневается в исключительной важности этого предмета. При решении вопросов, связанных с передачей информации в обычном смысле слова, значительное преимущество проведения точного анализа с помощью моделей, в которых используется математическое понятие количества информации, очевидно. Споры ведутся о том, в какой степени понятия теории информации можно применять в совершенно иных областях исследования. Остановимся, например, на некоторых вопросах, изложенных в трудах симпозиума по применению теории информации в биологии [66]. Так, при изучении кодирующей роли ДНК в синтезе белка может быть принят криптографический подход. Такие задачи связаны главным образом с хранением и передачей информации (надлежащим образом определенной и измеренной). Оказалось, что нередко при переходе с одного уровня организации на другой объем информации меняется на целый порядок. К объяснению этого явления можно подойти с самых разных позиций. Можно спросить себя, означает ли это, что в таких условиях передача информации неизбежно происходит при наличии шума и потому точная передача обеспечивается лишь при большой избыточности; или что структуры, которые определяют конфигурации, необходимые для основных биологических функций, поставляют, так сказать, в качестве побочного продукта и ряд других, «бессмысленных» конфигураций; или, наконец, что дополнительная информация каким-то образом связана с обработкой основного сообщения, а не с самим сообщением и т. д.

Конечно, ни один из этих подходов не заменяет точного биологического исследования на молекулярном уровне. Однако применение теории информации позволяет комбинировать большое число количественных результатов и использовать их для теоретических исследований, которые будут уже не носить преимущественно словесный характер, а основываться на некоторой системе законов и принципов.

С точки зрения потери информации можно также изучать такие проблемы, как заболевания дегенеративного характера, лучевое повреждение, старение и смерть. Как известно, организмы могут жить и размножаться, несмотря на некоторые дефекты в той генетической информации, которую они в себе несут. В результате увеличения числа таких ошибок под влиянием облучения организмы, которые ранее были близки к летальному пределу, но все же обладали некоторой жизнеспособностью, могут вообще оказаться нежизнеспособными. Это положение можно сформулировать в понятиях теории информации, предположив, что под влиянием облучения повышается частота мутаций, или, что равнозначно, уровень шума в канале связи. Вследствие этого пропускная способность канала уменьшается в такой степени, что у некоторых организмов передача достаточно точных сообщений оказывается невозможной.

Информационный подход в сочетании с принципом отрицательной обратной связи позволил разработать большое число интересных моделей биологических систем управления. Такие модели особенно полезны в приложении к физиологии, где они позволяют выяснить многие вопросы, касающиеся механизма гомеостаза. На этом фундаменте построена новая наука — кибернетика, охватывающая любые процессы управления в самых разнообразных системах — технических, биологических и социальных [2, 64].

Вряд ли можно утверждать, что те приложения теории информации, о которых говорилось выше, позволили получить много таких результатов в биологии и медицине, которые не были бы уже получены другими способами. И все же понятие информации, без сомнения, ценно тем, что оно служит полезным количественным инструментом для теоретических построений и описаний, а также унифицирует идеи и задачи, возникающие в самых различных областях знания. Как минимум это должно стимулировать научные исследования, а в идеале может привести к новым результатам, получение которых маловероятно при других формах анализа.

Все математические модели, о которых здесь упоминалось или которые рассматривались в этой книге, имеют явно численную основу. Эти модели выведены на основе простых идей счета и измерения, в большинстве случаев характеризуются не очень большой степенью абстракции и содержат описания или формулы, которые довольно легко представить в наглядном виде. Последнее свойство абсолютно несущественно. Обычно оно помогает на начальном этапе развития науки, но при переходе к более сложным исследованиям может даже служить помехой (во многих разделах современной физики дело обстоит именно так, но сомнительно, чтобы это относилось и к биологии). Счет и измерение находятся на первой ступени абстракции, которая дает начальный импульс развитию математики. Однако значительная часть математики находится на более высоких уровнях абстракции. Первым этапом после чисто метрических исследований является изучение соотношения между объектами, т. е. изучение их в реляционном аспекте. Большинство разделов геометрии носит именно такой характер. На более сложных уровнях находятся теория групп, теория множеств и топология.

Рашевский [54, 55] и его школа сделали очень много для применения реляционных методов в биологии. Математический аппарат, применяемый в этой области, довольно тонок и сложен, и детальное его обсуждение выходит за рамки настоящей книги. Мы только отметим, что с его помощью удалось сформулировать ряд общих представлений и теорем, имеющих большое биологическое значение. Хотя формулировка этих теорем носит преимущественно словесный характер и потому может создаться впечатление, что они были получены на основе неточных, чисто описательных рассуждений, большая их ценность состоит в том, что они являются результатом строго математического вывода. Так, основанная на чисто топологических соображениях теорема Розена гласит, что в любом организме, каким бы простым или сложным он ни был, имеются некоторые компоненты, регенерация которых невозможна. Например, при наличии ядра цитоплазма отдельной клетки может регенерировать, однако разрушенные ядра не способны к регенерации. Розен доказал также другую теорему: если некоторый компонент организма, не способный к регенерации, получает входные воздействия непосредственно из внешней среды, то утрата этого компонента приведет к гибели всего организма. Применение топологического подхода при изучении головного мозга [67] дало возможность получить довольно общую абстрактную модель различных функций мозга, позволяющую по-новому взглянуть на важные реляционные аспекты поведения.

Подлинное значение этих более абстрактных математических исследований еще не получило достойной оценки. Простые модели легко описать, объяснить и проверить. Но чем больше степень абстракции, тем труднее понять, в какой степени связаны между собой модель и реальное явление и не выхолощена ли эта модель настолько, что перенос любых выводов, полученных с ее помощью, на реальную действительность будет малооправданным. Если через некоторое время окажется, что математические модели реляционного типа дают полезные результаты (а это весьма возможно), то, значит, затраченные усилия не пропали даром.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление