Главная > Разное > Математика в биологии и медицине
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.3. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Суть метода исследования операций заключается в применении научного метода для решения организационных задач: однако часто термин «исследование операций» относят к группе математических методов, оказавшихся особо ценными при решении большинства таких задач.

Например, в связи с широким спросом на определенные виды товаров или услуг и необходимостью удовлетворения этого спроса возникают задачи массового обслуживания, определения очередности, составления расписаний, управления ресурсами и т. д. Приступая к решению какой-либо конкретной задачи, прежде всего необходимо построить математическую модель соответствующей операции и исследовать ее свойства. Затем требуется найти метод определения оптимальной (по отношению к соответствующим критериям) схемы протекания реального процесса. О теории массового обслуживания и линейном программировании уже кратко говорилось в разд. 4.1. Далее мы несколько подробнее остановимся на вопросах, представляющих особый интерес и играющих важнейшую роль в исследовании операций.

Теория массового обслуживания

Любая ситуация массового обслуживания связана с наличием непрерывной, хотя и меняющейся во времени, потребности в определенных видах товаров или услуг и организацией обслуживания для удовлетворения этих потребностей. В качестве простейшего примера возьмем покупателя, подошедшего к прилавку, чтобы купить какие-то товары. Если в этот момент продавец свободен, то покупатель будет обслужен немедленно. Но если продавец уже занят обслуживанием покупателя, пришедшего раньше, то вновь прибывший вынужден ждать, и обычно для этого он должен встать в очередь. Этот простой случай может иметь большое число вариантов, обобщений и усложнений. В настоящее время уже существует обширная литература по теории массового обслуживания. Библиографию и подробное изложение математического аспекта предмета читатель найдет в книгах Кокса и Смита [15], Саати [56] или в гл, 11 другой книги автора [9]. В действительности описанная выше предельно простая ситуация, отнесенная нами к области интересов массового обслуживания, представляет собой лишь частный случай более общих процессов преобразования входных величин в выходные. К таким процессам относятся, например, регуляция спроса и предложения в системе медицинского обслуживания или регуляция обмена веществ в организме. Однако вернемся к элементарной модели массового обслуживания и отметим ее характерные свойства.

Во-первых, рассмотрим входной процесс, представляющий собой поток клиентов, нуждающихся в обслуживании. Часто бывает удобно и целесообразно предположить, что они прибывают случайным образом, хотя и с некоторой постоянной средней интенсивностью. Это означает, что длительности интервалов между последовательными моментами прибытия клиентов имеют экспоненциальное распределение и что число клиентов, прибывающих в течение любого фиксированного промежутка времени, имеет пуассоновское распределение.

Можно представить себе также систему предварительной записи, когда клиенты прибывают в фиксированные моменты времени. Кроме того, существует целая область промежуточных возможностей.

Во-вторых, необходимо задать определенную дисциплину очереди. Простейшим допущением является принцип «первым прибыл — первым обслужен». В этом случае клиенты ожидают в очереди в порядке прибытия, и в любой данный момент времени обслуживается только тот, кто стоит первым. Более сложные виды дисциплины очереди могут быть заданы с помощью определенной системы приоритетов или возникнуть при поступлении срочных «заказов», например таких, как неотложные случаи, требующие немедленного оказания медицинской помощи.

В-третьих, существует механизм обслуживания, определяющий выходной поток или окончание элементарного процесса обслуживания. Здесь прежде всего нужно знать число обслуживающих устройств и распределение длительности обслуживания в каждом из них. Естественно, что простейшей является система с одним обслуживающим устройством.

Очевидно, что если бы клиенты прибывали через постоянные промежутки времени и время обслуживания было постоянным, то при длительности обслуживания, не превышающей длительности интервала между прибытием последовательных клиентов, очередь не образовалась бы; в противном случае очередь будет увеличиваться бесконечно с постоянной скоростью. В таком простом детерминированном случае никаких сложных проблем не возникает, но, как только вводятся те или иные вероятностные элементы, появляется ряд специфических особенностей.

Для закрепления этих понятий рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания (систему с одним обслуживающим устройством), в которой клиенты прибывают случайным образом; пусть средний интервал между моментами прибытия равен К и длительность обслуживания характеризуется некоторым распределением с математическим ожиданием и дисперсией Здравый смысл подсказывает, что при потребность в обслуживании превышает пропускную способность системы, длина очереди будет непрерывно возрастать и создастся крайне неблагоприятная ситуация. Если же то средняя потребность в обслуживании будет меньше средней возможной пропускной способности системы; поэтому ситуация будет довольно благоприятной, однако вследствие статистических колебаний временами будут возникать очереди.

Ясно, что точное соотношение между длиной очереди и параметрами и требует исследования. Частный случай когда средняя пропускная способность и средняя потребность в обслуживании равны, представляет особый интерес и обладает совершенно неожиданными свойствами.

С помощью довольно элементарных рассуждений можно показать, что средняя длина очереди q описывается формулой

где так называемая загрузка системы. Если длительность обслуживания постоянна, то и формула (4.1) принимает вид

Если же длительность обслуживания имеет экспоненциальное распределение, то дисперсия будет равна . В этом случае формула (4.1) принимает вид

Можно также вычислить среднее время w, в течение которого клиенту приходится ждать, когда его начнут обслуживать. Можно показать, что общее выражение для w имеет вид

При постоянной длительности обслуживания

а в случае экспоненциального распределения длительности обслуживания

Сравнение формул (4.5) и (4.6) показывает, что при переходе от постоянной длительности обслуживания к экспоненциальному распределению этой величины средняя длительность ожидания увеличивается вдвое.

Разумеется, формулы (4.1) — (4.6) справедливы только при . Если приближается к единице, то средняя длина очереди и средняя длительность ожидания стремятся к бесконечности.

Таким образом, когда спрос и предложение в точности сбалансированы, возникает крайне нежелательная ситуация. Хотя в настоящее время имеется огромная литература по математической теории массового обслуживания, одним из простейших и наиболее ценных практических результатов является требование, чтобы загрузка системы была меньше единицы (к этому результату вполне можно было бы прийти просто на основании здравого смысла). Главная ценность теории массового обслуживания состоит в том, что она позволяет точно вычислить, сколько продлится среднее ожидание при любой данной загрузке системы. Для наиболее эффективного использования времени обслуживающего устройства загрузка должна быть как можно ближе к единице, тогда как для обеспечения минимального времени ожидания она должна быть как можно меньше. Следовательно, если имеется возможность рассчитать точные последствия различных методов эксплуатации системы, то это позволяет спланировать оптимальное соотношение между этими противоречивыми требованиями.

Аналогичные соображения в принципе применимы и к более сложным системам, например к многоканальным системам, к системам, в которых дисциплина очереди предполагает применение специальных правил установления приоритета, и системам с входными потоками произвольного или сложного характера. Некоторые конкретные приложения теории массового обслуживания к медицинскому обслуживанию рассматриваются в гл. 12.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление