Главная > Разное > Математика в биологии и медицине
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Теория игр

Широкое применение в исследовании операций может найти и так называемая теория игр. Существует важное различие между собственно теорией игр и операционными играми, о которых говорилось выше. Термин «операционная игра» по существу обозначает моделирование некоторого очень сложного и изменчивого процесса принятия решений с помощью игры, проводимой по определенным образом закодированным правилам; в ней могут принимать участие и люди, но лучше проводить ее с воображаемыми участниками, решения которых определяются путем соответствующих вычислений. Теория же игр связана главным образом с методами и принципами выбора наилучшей стратегии в определенной ситуации конкурентной борьбы. Практических примеров конкурентного поведения в торговле и промышленности можно найти сколько угодно. Эти примеры большей частью оказываются слишком сложными для непосредственного анализа, хотя уже достигнуты кое-какие успехи в анализе ситуаций, в которых конкурирующие компании добиваются заключения контрактов, предлагая различные условия поставки. Теоретические исследования обычно посвящаются исключительно простым и искусственно подобранным ситуациям, однако именно по этим причинам они позволяют выявить некоторые наиболее важные аспекты реальных проблем. Чтобы получить некоторое представление о теории игр, рассмотрим следующий простой пример.

Допустим, что два лица А и В участвуют в определенной игре, конкретные детали которой нас не интересуют. Игроки стремятся к тому, чтобы выиграть каждую партию при ограничениях, налагаемых правилами игры. Целью, или конечным состоянием, каждой игры является выигрыш для А, выигрыш для В или ничья. В заключение каждой игры один из игроков платит другому определенную сумму денег, размер которой зависит от того, как закончилась игра. Ничья означает нулевые платежи, но сумма, которую получает игрок А в случае выигрыша, может зависеть от характера его победы. Как уже говорилось ранее, в теории игр нас интересуют не детали отдельных шагов или ходов какой-либо конкретной игры, а общий план действий, или стратегия, которую нужно выбрать. Допустим, что игроку А известны три различные стратегии: одну из которых он может выбрать, в то время как у игрока В имеются два возможных плана действий: Допустим теперь, что нам известно, какую сумму в конечном счете один игрок выплачивает другому, если выбрана какая-либо данная пара стратегий: например, игрок В выигрывает 20 очков у игрока А, если последний выбирает стратегию а игрок В выбирает стратегию

Результаты для шести комбинаций стратегий можно представить в виде матрицы, в которой показаны суммы, выплачиваемые игроком В игроку А при выборе каждой пары стратегий. Платежная матрица для данного примера имеет следующий вид:

Если нас интересует игрок В, то сразу видно, что стратегия для него плоха, поскольку он всегда проигрывает и должен платить игроку А. Если же игрок В выбирает стратегию то он выигрывает, когда игрок А выбирает стратегию или стратегию но проигрывает 10 очков, когда игрок А поступает достаточно разумно и выбирает стратегию Наилучшей стратегией для игрока В всегда является В В то же время игроку А лучше всего придерживаться стратегии если игрок В выбирает стратегию Однако по изложенным выше причинам маловероятно, чтобы игрок В поступил таким образом. Если он выбирает стратегию то игрок А получает максимальный выигрыш, действуя по плану Таким образом, наилучшими стратегиями для А и В оказываются такие, в результате выбора которых игрок В проигрывает игроку А 10 очков. Эта величина называется ценой игры. Если, как в данном случае, игроку лучше придерживаться одного и того же плана в каждой партии, то говорят, что он использует чистую стратегию.

Оптимальные стратегии можно найти с помощью полезного правила — принципа минимакса, согласно которому целесообразно выбирать стратегию, минимизирующую максимально возможный проигрыш. Так, для игрока А наибольшими проигрышами являются при стратегиях соответственно. Наименьшим проигрышем здесь является —10. Следовательно, минимаксной стратегией является Применение аналогичных рассуждений к игроку В показывает, что для него максимальными проигрышами являются при стратегиях соответственно. Таким образом, минимаксной стратегией для игрока В является В

Итак, получен тот же результат, что и ранее. Если стратегии игрока А соответствуют столбцам платежной матрицы, то для выбора оптимальной стратегии нужно найти элемент, являющийся наибольшим в своем ряду и наименьшим в своем столбце.

Если такой элемент существует, то говорят, что это седловая точка и соответствующие стратегии являются наилучшими для двух рассматриваемых игроков.

Однако часто бывает так, что седловая точка отсутствует, т. е. не существует какой-либо пары стратегий, каждая из которых является оптимальной для данного игрока при всех обстоятельствах. В этом случае наилучший метод состоит в принятии игроками смешанной стратегии, которая означает, что каждый игрок случайным образом производит выбор определенного плана из числа всех возможных, причем вероятность выбора зависит от конкретного набора чисел, входящих в платежную матрицу. Полное решение таких задач может быть довольно сложным и осуществлено несколькими способами. Один из них состоит в превращении всей проблемы в задачу линейного программирования и использовании соответствующего метода решения этой преобразованной задачи.

Хотя изложенный выше подход к играм, при котором нас интересовал главным образом выбор одной из альтернативных стратегий без рассмотрения всех деталей игры, совершенно оправдан, можно дать и иное определение конкурентной ситуации, которое будет учитывать эти детали. Так, при игре в покер, бридж или в шахматы нас интересует, какой картой лучше всего ходить или какой фигурой лучше всего играть на каком-либо этапе игры. Можно показать, что при определенных общих условиях для игр, формулируемых в такой экстенсивной форме, каждый игрок имеет свою оптимальную чистую стратегию. К сожалению, число возможных вариантов обычно оказывается слишком большим, и потому этот подход не может иметь практического значения, хотя с теоретической точки зрения он заслуживает исследования.

Мы лишь поверхностно коснулись здесь вопросов, связанных с теорией игр. Эта теория может быть обобщена для ряда более сложных случаев: игры с участием нескольких лиц, образующих или не образующих коалиции; игры, в которых проигрыши являются не дискретными функциями, как в данном случае, а непрерывными; игры, в которых проигрыш одного из игроков не означает автоматически выигрыша для другого (это имеет место, например, в случае экономической конкуренции между фирмами), и т. д. Классической работой по теории игр является книга фон Неймана и Моргенштерна, впервые опубликованная в 1944 г. С тех пор появилась обширная литература по этому вопросу.

Насколько успешным оказалось применение теории игр на практике, пока сказать трудно. Сообщалось о применении теории игр в военном деле, однако по понятным причинам результаты опубликованы не были.

В опубликованных работах по применению теории игр в экономике, промышленности и административной деятельности чаще рассматриваются различные варианты и возможные выводы, но не содержится конкретных данных, свидетельствующих об их практической ценности. Однако в целом общепризнано, что теория игр значительно расширила наши возможности ориентироваться в целом ряде очень сложных задач. Такие, понятия, как участники игры, чистые и смешанные стратегии, платежные матрицы и т. д., создают новую систему представлений о сложных ситуациях, связанных с конфликтами и конкуренцией. Поэтому теорию игр нужно рассматривать как один из основных методов исследования операций, используемых при построении количественных моделей очень сложных процессов принятия решений.

Мы не стремились исчерпывающим образом излагать здесь все важнейшие методы, применяемые в исследовании операций, а лишь коснулись некоторых из них, для того чтобы дать почувствовать разницу между математическими моделями, возникающими в этой дисциплине, и моделями «чистых» и прикладных наук, рассмотренными в предыдущих главах. Изложение таких предметов, как теория графов, теория динамических систем, теория информации и принцип обратной связи, сетевые модели и т. д., читатель может найти в других руководствах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление