Главная > Разное > Математика в биологии и медицине
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ И НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Вряд ли стоит говорить о том, что появление современных вычислительных машин оказало огромное влияние на развитие исследований во всех областях науки, хотя к настоящему времени возможности ЭВМ используются далеко не полностью. В предыдущих разделах были рассмотрены общие принципы вычислительной техники, круг задач, которые могут решаться с помощью ЭВМ, а также методы программирования, посредством которых можно передавать в машину информацию и команды.

Появление вычислительных машин совершило настоящую революцию в области научных исследований. Вычисления могут теперь выполняться значительно быстрее и точнее, чем раньше; вычислительная машина может хранить, обрабатывать и анализировать огромное количество данных, и поэтому перед учеными открываются такие области исследования, которые ранее были просто недоступны. Более того, возможность воспользоваться вычислительной техникой существенно влияет на выбор методов научного исследования и даже на выбор проблем, которые целесообразно исследовать. Причина этого заключается в том, что наличие вычислительных машин не только экономит время научного работника, но и оказывает на него психологическое воздействие.

Обсудим сначала более узкий вопрос о выборе методов решения какой-либо конкретной задачи. Допустим, что изучается развитие эпидемии (более подробно этот вопрос обсуждается в гл. 9). Рассмотрим обычную модель простой стохастической эпидемии для непрерывного времени со случайной передачей инфекции от носителя инфекции к восприимчивым индивидуумам, но без случаев выздоровления (математическое решение этой задачи мы уже-затрагивали в разд. 3.4, а вычислительные аспекты отложили да настоящего раздела). Такой процесс можно описать системой дифференциально-разностных уравнений относительно вероятностей. Эти уравнения могут быть точно решены с помощью преобразований Лапласа, хотя формулы для отдельных вероятностей очень сложны и их трудно найти математическим путем. По различным техническим причинам довольно трудно найти численные значения вероятностей и соответствующие математические ожидания и дисперсии путем решения этих уравнений в случае не очень больших групп восприимчивых индивидуумов. Поэтому встает вопрос, не лучше ли, учитывая существование электронных вычислительных машин, выбрать другой математический метод.

Если мы собираемся вычислять вероятности, математические-ожидания и т. д., то это можно сделать непосредственно с помощью системы дифференциально-разностных уравнений, не прибегая к преобразованиям Лапласа. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно найти стандартными численными методами Рунге — Кутта. Если эпидемия начинается в группе из 50 восприимчивых индивидуумов при одном случае инфекции, занесенной извне, то требуется решить 51 уравнение. В принципе достаточно хорошая вычислительная машина может справиться с этой задачей, однако для обеспечения точности численного анализа необходима большая осторожность, особенно потому, что методы Рунге — Кутта могут оказаться ненадежными, когда решения имеют вид сумм членов с отрицательными показателями степени (что имеет место в данном случае).

Возможно, - лучшим окажется какой-либо другой метод численного интегрирования, однако, насколько известно автору, весь этот подход в целом еще не нашел практического применения.

Существует другой метод вычислений, основанный на том, что производящая функция распределения вероятностей удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка параболического типа. Такие уравнения могут быть решены методом Кранка — Никольсона, который позволяет получить численные значения производящей функции для большого числа точек в области интегрирования. Но для нахождения отдельных значений вероятностей или математических ожиданий и т. д. необходимо применять численное дифференцирование, которое пользуется дурной славой из-за своей ненадежности, и, кроме того, для выполнения таких вычислений требуется довольно много времени. Для данного стохастического процесса удается получить достаточно точные значения математических ожиданий, однако необходимо иметь в виду, что мы рассматриваем простую эпидемию без случаев выздоровления. Для более реалистических моделей и этот и все другие упомянутые нами методы при современном состоянии численного анализа и вычислительной техники, по-видимому, малоэффективны.

Рассмотренные численные методы вполне приемлемы при очень малых группах восприимчивых индивидуумов, однако в этих случаях решение можно получить и алгебраическими методами. Что же можно сделать в случае больших групп? Одна из возможностей — использование физического моделирования, рассмотренного в разд. 2.5. Существуют различные способы физического моделирования. Например, можно непосредственно промоделировать процесс для непрерывного времени. Кроме того, можно использовать дискретный аналог цепочечно-биномиального типа, а затем промоделировать этот дискретный процесс. Сделать это очень просто. Соответствующую программу для вычислительной машины записать нетрудно, вычисления с требуемой точностью можно относительно быстро выполнить на небольшой вычислительной машине, например IBM-1620 или «Эллиотт-803», и этот метод легко распространить на более общие случаи. Например, оказалось, что он дает возможность без большого труда получить весьма ценную информацию о развитии эпидемий в определенной географической области (см. разд. 9.7).

При решении эпидемиологических задач такого рода физическое моделирование не только во многих отношениях значительно эффективнее других методов, но особенно ценно тем, что оно приложимо и к более сложным и более реалистическим моделям, чем те, с которых мы начинали. Перед научными исследованиями открываются новые перспективы.

Возможность изучения эпидемий в пространственно дифференцированных популяциях, имеющих неоднородную структуру, в настоящее время представляется значительно менее отдаленной, чем при попытках чисто математического анализа. Вычислительная техника существенно повлияла на стандартные математические методы и подсказала, в каком направлении следует искать более плодотворные методы исследования. Более того, она стимулирует и развитие чисто математических исследований, так что эти различные направления взаимно усиливают друг друга.

Примеры, свидетельствующие о влиянии вычислительной техники на научные исследования, можно найти почти в любой области науки. В биологии и медицине применение вычислительных машин должно иметь особенно далеко идущие последствия. И действительно, уже достигнуты поистине замечательные успехи в самых различных областях — от молекулярной биологии до организации управления научными ресурсами в крупном масштабе.

Наряду с конкретным влиянием вычислительной техники на тонкую структуру научных исследований существует более широкий вопрос, связанный с состоянием общественного мнения. Тот, кто действительно понимает, что вычислительная машина представляет собой просто новое средство, в огромной степени облегчающее стоящую перед человечеством задачу изучения и покорения природы, смотрит на новые возможности с оптимизмом и энтузиазмом. Такой человек будет не только приветствовать развитие новых вычислительных машин, но и захочет точно знать, какое влияние они окажут на его работу и каким образом полностью использовать их возможности. Кроме того, он остро заинтересован в том, чтобы как можно большее число людей смогло освоить и использовать новые средства. Но часто — вследствие ли полного невежества или неправильного понимания новых идей и методов — наблюдается поразительное противодействие их распространению. Широкая публика боится развития новых сил, которые она ошибочно представляет себе как нечто мистическое и непостижимое, профсоюзы видят в них новую угрозу жизненному уровню рабочих, а специалисты в области вычислительной техники не желают уступать свое привилегированное положение верховных жрецов, владеющих тайнами, скрытыми от непосвященных. Весь дух настоящей книги направлен против таких тенденций, где бы они ни возникали. По мнению автора, для общества исключительно важно, чтобы как можно больше людей поняло, что могут делать вычислительные машины, и имело возможность пользоваться ими, когда в этом возникнет необходимость.

Эти соображения имеют непосредственное отношение к таким вопросам, как, скажем, вопрос об относительной роли больших и малых вычислительных машин.

Большие машины обладают большим быстродействием, более универсальны, могут обрабатывать большее количество данных и использовать большее число языков программирования, более эффективно выполняют всю последовательность вычислений и т. д. Если такое вычислительное устройство используется эффективно, то эти выгоды оказываются весьма значительными. Но вместе с тем контакт между человеком и машиной значительно ослабляется. Квалифицированный математик, который знает возможности вычислительных машин, после составления программы спокойно передаст технические детали оператору. Однако исследователь, привыкший работать в лаборатории, не будет чувствовать большой уверенности в результатах, полученных с помощью аппаратуры, находящейся где-то в другом месте и управляемой людьми, работу которых он не совсем понимает. Такой специалист будет совершенно иначе относиться к устройствам, которые он может видеть, ходить возле них и обращаться с ними точно так же, как с любым другим сложным оборудованием своей лаборатории. По этим причинам очень важно, чтобы получили широкое распространение небольшие вычислительные машины, работу которых можно тесно увязать с деятельностью их потребителей. По мере того как все большее число людей будет знакомиться с вычислительной техникой, этот аспект станет, вероятно, менее важным, однако в настоящее время он имеет весьма существенное значение. Особенно это относится к биологии и медицине, где необходимо всячески поощрять распространение математических методов. Если врачи и биологи ознакомятся с принципом работы небольших вычислительных машин, они значительно быстрее поймут их значение для своей научной работы. Разумеется, эксплуатацией таких машин должны заниматься специалисты по вычислительной технике, но можно организовать работу так, чтобы они более или менее непосредственно участвовали в научных исследованиях.

Помимо весьма значительного психологического эффекта, к которому приводит установление непосредственного контакта научных работников с вычислительной машиной, небольшие вычислительные устройства имеют и ряд других преимуществ. Так, если программа требует неоднократных усовершенствований, во многих случаях удобнее отлаживать ее на небольших вычислительных машинах, находящихся в самой лаборатории. Прежде всего в сложных программах могут быть ошибки, которые необходимо исправить. Кроме того, даже если программа верна, может оказаться желательным получить результаты немедленно, чтобы их можно было сразу же обсудить, модифицировать программу и получить новые результаты. Если предстоит длинная последовательность обсуждений и модификаций программы, то почти всегда удобнее иметь практически немедленный доступ к небольшой вычислительной машине, чем использовать большую машину, установленную в другом месте.

Исключение составляют лишь те случаи, когда имеется свободный доступ к пульту дистанционного управления большой вычислительной машиной, так как это равносильно наличию вычислительной машины в собственном отделе или лаборатории.

Между тем исследования, требующие многократного изменения программы, обычно сильно задерживаются длительным ожиданием возможности отладить ее на большой центральной вычислительной машине. Одна из основных причин такой задержки заключается в нерентабельности работы большой вычислительной машины, когда эта машина не загружена на полную мощность, т. е. когда ее относительная загрузка далека от единицы. Из теории массового обслуживания (см. разд. 4.3) хорошо известно, что средняя длительность ожидания стремится к бесконечности, если загрузка превышает единицу, и все еще очень высока, если загрузка лишь немногим меньше единицы. Например, в простой системе массового обслуживания со случайным прибытием клиентов и экспоненциальным распределением длительности обслуживания среднее время ожидания, согласно формуле (4.6), равно где — загрузка, а ( — среднее время обслуживания. Если, например, то это означает, что среднее время ожидания в 19 раз превышает среднее время обслуживания. Если речь идет о вычислительном устройстве, то в эффективное время обслуживания входят не только те несколько секунд, которые требуются для самих вычислений на машине, но и время, затрачиваемое на выполнение канцелярской и административной работы и на передачу программы и данных из лаборатории на вычислительное устройство. Если не принять специальных мер для его сокращения, суммарное время обслуживания может достигать нескольких часов. Таким образом, при загрузке, близкой к единице, среднее время ожидания может измеряться не часами, а сутками. Поэтому ясно, что увеличение коэффициента использования машинного времени имеет важнейшее, а в некоторых случаях решающее значение.

По всем этим причинам многие достаточно крупные научно-исследовательские группы предпочитают иметь собственные небольшие вычислительные машины, которые могут работать при загрузке, меньшей единицы, и обеспечивать очень быстрый доступ и быструю отладку программы. Кроме того, индивидуальная вычислительная машина обладает значительно большей гибкостью и более пригодна для решения практических задач, особенно тех, которые решаются методами исследования операций. В то же время, конечно, для решения более сложных задач и получения более точных результатов важно иметь доступ к большой быстродействующей вычислительной машине.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление