Главная > Разное > Математика в биологии и медицине
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Мы уже указывали, что обычный язык не только позволяет нам упорядочивать наши мысли и идеи настолько, чтобы ими можно было манипулировать, т. е. записывать их и передавать, но в значительной мере определяет и существование самих мыслей. Это взаимодействие мысли и языка и фактически их совместное развитие можно сравнить с соответствующей взаимозависимостью мысли и математики, когда мы переходим к использованию последней для более точных описаний. Если рассматриваются такие сложные вопросы, как теория относительности или квантовая теория, то справедливость этого утверждения самоочевидна. Некоторые основные идеи этих теорий можно проиллюстрировать, рассмотрев, скажем, известный парадокс часов и переход элементарных частиц с одной орбиты на другую. И даже здесь потребуется определенный объем элементарной математики. Однако описание наиболее важных вопросов, составляющих существо этих теорий, возможно лишь с помощью очень сложного математического аппарата; без такого описания дальнейшая творческая мысль невозможна.

Большинство биологических и медицинских исследований не требует столь сложного математического анализа. Однако достаточно рассмотреть лишь применение статистики при планировании и анализе экспериментов, теории случайных процессов — при изучении роста биологических популяций или теории информации — при обсуждении некоторых вопросов биосинтеза белка, чтобы понять, что в биологической науке существует много важных проблем, где математические методы действительно обеспечивают такое проникновение в суть дела, которого невозможно достигнуть чисто описательным путем. Некоторые из этих приложений будут рассмотрены далее более подробно. Сейчас наша цель состоит в том, чтобы познакомиться поближе лишь с первым этапом построения математических моделей биологических явлений.

Бурное развитие прикладной математики в XVII в. сразу же привело к впечатляющим успехам в изучении реального мира. Рассмотрим, например, область ньютоновой механики и оптики. Наиболее смелые люди отваживались даже в то время использовать математический подход при изучении форм живых организмов и их развития. Так, Галилей рассматривал связь между прочностью материалов и относительными пропорциями соответствующих конструкций не только в применении к постройке судов или сооружению дворцов, но и в связи со строением растений и животных. Например, он пытался установить максимальную высоту дерева, при превышении которой небольшое отклонение ствола приводит к постоянному изгибу, изучить влияние увеличения размеров тела животного на размеры и прочность скелета и мышц, а также выявить различные физические изменения, происходящие в организме, когда такое животное, как кит, погружается в воду и вес его тела уравновешивается весом вытесненной им воды. В XVII в. Уильям Гарвей подходил к объяснению таких физиологических явлений, как кровообращение, с позиций механики, хотя более точные описания — через гидродинамическую теорию — появились только в XIX в. При изучении многих вопросов такого рода могут найти применение методы физики и химии, а также некоторые разделы прикладной математики. Однако в этой книге нас будут интересовать прежде всего те аспекты биологии и медицины, которые лежат вне области, непосредственно связанной с точными науками. В то же время нельзя забывать, что физические и химические понятия лежат в основе большинства (если не всех) сравнительно абстрактных исследований, скажем таких, как изучение поведения животных или эволюционного развития.

Начнем с того, что большинство биологических работ носит описательный характер.

При описании растений и животных рассматриваются их форма, размер, цвет, поведение, распространение, сходство с другими организмами или отличие от них и т. д. Это, в сущности, стадия естественной истории. В простейшем виде такое описание носит главным образом словесный характер и насыщено различными подробностями. Однако по мере того, как наблюдения становились более точными и обширными, появилась возможность применения математического языка для описания или отображения огромного многообразия форм жизни. Высшая Ступень в развитии такого рода описательно-математической естественной истории была отмечена появлением в 1917 г. книги д’Арси Томпсона «Рост и форма», которая в настоящее время считается классической. Значительная ее часть посвящена применению обычной статики, динамики, физики и химии для получения более детального и более сложного описания живых организмов, чем это возможно с помощью словесных средств. Значительное внимание уделяется также правильному выбору математических понятий и теорий для объяснения сложности и запутанности наблюдаемых форм.

Рассмотрим, например, замечательные гексагональные образования в архитектуре ячеек медовых сотов, детальное описание которых восходит еще к Паппусу из Александрии. На первый взгляд эту конфигурацию можно рассматривать как результат сжатия двойного слоя одинаковых цилиндров с круговым поперечным сечением; при таком сжатии поперечные сечения должны принять вид шестиугольников. Однако истинная форма получающихся многогранников требует более тщательного изучения. Можно показать, как это сделал Кеплер еще в XVII в., что пространственная симметрия медовых сотов должна привести к расположению плоскостей и углов, наблюдаемому в правильном ромбо-додекаэдре. Впоследствии оказалось, что такое тело имеет определенные оптимальные свойства, а именно площадь его поверхности при определенных условиях минимальна. На этом основании некоторые ученые предположили, что пчела осмысленно выбирает эту определенную форму медовых сотов, чтобы экономить воск. Однако в дальнейшем геометрическая форма сотов была уточнена, и это предположение пришлось изменить. Так, наблюдаемый ромбо-додекаэдр содержит ряд гексагональных призм с ромбоидальными пирамидами в качестве оснований. Допустим теперь, что основанием служит плоскость. Можно показать, что такое тело будет всего на 2% менее эффективным. Вряд ли можно предположить, что пчела производит настолько точные вычисления. Кроме того, при более тщательном исследовании оказалось, что форма медовых сотов отклоняется от идеальной математической фигуры: толщина их стенок неодинакова, ячейки никогда не располагаются строго по горизонтали, края не совсем прямые, на гранях имеются неровные подтеки воска и т. д.

Более вероятно, что наблюдаемая геометрическая форма возникает в результате совместного действия силы тяжести, взаимного давления и поверхностного натяжения. Основная ценность таких исследований заключается в том, что они иллюстрируют огромную силу математического описания, или, как сейчас говорят, математической модели. Отыскание в данном конкретном случае правильного многогранника, столь удачно описывающего объект, встречающийся в природе, дает нам не только определенное эстетическое удовлетворение. Такого рода модель служит полезной основой для дальнейших рассуждений и исследований. Следует отметить также, что такой подход обладает большой эффективностью и гибкостью, несмотря на то (и скорее даже благодаря тому) что математическая модель является лишь аппроксимацией действительности. В самом деле, если бы модель слишком точно имитировала реальную действительность, математические выражения оказались бы чрезмерно сложными и их обработка была бы связана с непреодолимыми трудностями. Далее мы остановимся на этом противоречии более подробно.

Еще один интересный вопрос, дающий широкие возможности для применения математики, — листорасположение у деревьев и других растений; этот вопрос был также довольно детально рассмотрен д’Арси Томпсоном. Не только листья на стеблях многих растений, но и отдельные цветочки в соцветии подсолнечника, чешуйки в еловой шишке и т. д. образуют замечательно правильные спирали, возбуждающие интерес многих биологов и математиков. Так, у шишек норвежской ели имеется пять рядов чешуек, круто поднимающихся в одном направлении, и три ряда, идущих более полого в противоположном направлении. У обычной лиственницы число таких рядов равно соответственно пяти и восьми. Цветорасположение у гигантского подсолнечника имеет аналогичную схему, и числа рядов равны соответственно 34 и 55, 55 и 89, 89 и 144 и т. д. Хотя имеют место и исключения, пары чисел, встречающиеся наиболее часто, являются двумя последовательными членами арифметического ряда Фибоначчи (итальянский математик, известный еще как Леонардо из Пизы, 1170-1250 гг.):

Ряд начинается с единицы, и каждый его член в точности равен сумме двух предыдущих. Одно из наиболее важных математических свойств этого ряда состоит в том, что последовательность дробей, образованных путем деления каждого члена на последующий, т. е. ряд

стремится к так называемому золотому сечению, точное значение которого равно

Если отрезок прямой разделен на две части золотым сечением, т. е. так, что отношение большей части ко всему отрезку равно 0,618..., то отношение меньшей части к большей также является золотым сечением. Эта пропорция и ее свойства были хорошо известны древним грекам, и ей часто придавали важную роль в эстетических дискуссиях об искусстве и архитектуре. Разве не удивительно, что такие же числа встречаются и в живой природе?

Рассмотрим рост одиночного стебля растения (считая его идеальным круговым цилиндром), на поверхности которого по спирали на одинаковом расстоянии друг от друга появляются новые листья: А, В, С, D... Можно ожидать, что листья расположатся при этом в несколько вертикальных рядов, равноудаленных друг от друга по поверхности цилиндра. Однако в общем случае такого расположения не возникает. При внимательном рассмотрении стебля глаз легко выделит на нем некоторую другую спираль, например А, С, Е... Действительно, на основе геометрических соображений можно показать, что на стебле имеются две дополняющие друг друга системы спиралей: одна — правосторонняя, а другая — левосторонняя, и обе они отличаются от исходной генетической спирали А, В, С... Кроме того, если О — лист, к которому можно дойти из точки А за шагов, двигаясь по одной спирали, и за гг шагов, двигаясь по соответствующей дополнительной спирали, то можно показать, что тип представляют собой последовательные члены ряда Фибоначчи и что путем надлежащего выбора спирали можно выделить все предыдущие пары членов ряда. Хотя эти соотношения приближенно справедливы только для почти цилиндрических стеблей или ветвей, при соответствующей деформации цилиндра топологически идентичное построение можно выполнить и для таких структур, как еловая шишка или соцветие подсолнечника. По-видимому, различные на глаз дополнительные спирали вместе с соответствующими числами Фибоначчи являются неизбежным следствием регулярного роста листьев на основной генетической спирали. В известном смысле появление определенных арифметических соотношений является математическим совпадением. Однако единство математики состоит в том, что результаты и теоремы, вытекающие из данной группы допущений, применимы во всех тех случаях, когда эти допущения можно считать справедливыми.

Еще больше места (около 100 страниц) д’Арси Томпсон уделяет часто встречающейся в природе логарифмической спирали, которая связана с определенными видами роста. Наиболее простой вид имеет спираль, которую вычерчивает точка Р при вращении радиуса-вектора OP с постоянной угловой скоростью относительно начала координат О при одновременном движении точки Р из точки О вдоль линии ОР с постоянной скоростью.

Это так называемая архимедова спираль; примерно такую форму принимает канат, аккуратно свернутый в бухту на палубе судна и имеющий витки одинаковой толщины. В полярных координатах уравнение спирали имеет вид . Однако у очень многих моллюсков, например у Nautilus pompilius, Turritella duplicata, Ammonites и т. д., последовательные витки не одинаковы, а все более и более утолщаются. Во многих случаях приближенные значения толщины последовательных витков образуют геометрическую прогрессию. Спираль, обладающая этим свойством, называется логарифмической; ее можно построить, заставив точку Р двигаться из начала координат О не с постоянной скоростью, как в описанной выше архимедовой спирали, а с возрастающей скоростью, пропорциональной расстоянию от точки О. Построенная спираль может быть описана уравнением в полярных координатах или . Эта спираль обладает рядом интересных свойств, в том числе следующими. Во-первых, кривая пересекает все радиусы под одним и тем же углом. Отсюда одно из ее названий — равноугольная. Во-вторых, как уже указывалось, расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию. В-третьих, последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом, также составляет геометрическую прогрессию. Кроме того, наконец, образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны друг другу.

Хотя саму раковину моллюска нельзя назвать живой, она образуется растущим организмом. Один из простейших способов наращивания нового вещества автоматически приводит к образованию некоторой фигуры, очень близкой к логарифмической спирали. Раковина моллюска Nautilus представляет собой, конечно, трехмерную структуру, однако любая последовательность соответствующих точек ее поверхности (например, точек, определяющих контуры раковины в процессе ее роста) лежит более или менее в одной плоскости. Рост раковин таких моллюсков, как Turritella duplicata, происходит в трех измерениях. Тем не менее в этом случае пригодно аналогичное математическое описание, хотя на этот раз мы должны оперировать с более широким понятием логарифмической спирали, навернутой на конус.

Во многих раковинах обнаруживается поразительно близкое совпадение между результатами измерений и теоретическими значениями, ожидаемыми для точной логарифмической спирали. Еще более удивительно, что во многих случаях аналогичная кривая довольно точно описывает образование крышечки, закрывающей вход в раковину.

Эта крышечка растет путем постепенного нарастания с одного края, одновременно передвигаясь вдоль раковины и поворачиваясь вокруг своей оси таким образом, что в конце концов образуется плотная пробка. Ясно, что дать строгое геометрическое описание такого великолепного приспособления довольно трудно.

Из предыдущих примеров видно, что математические построения сравнительно простого типа описывают некоторые биологические явления с удивительной степенью правдоподобия. Конечно, если попытаться описать надлежащими геометрическими кривыми форму тела лошади, то можно быстро прийти к выводу, что математика не подходит для описания объектов такого рода. Именно из-за огромной сложности мира живых организмов многие биологи сомневаются в возможности широкого применения математических методов. Но хотя простые математические методы находят в биологии лишь ограниченное применение, это не означает, что сложные явления жизни недоступны математическому анализу. Напротив, как уже указывалось в предыдущем разделе, мы сталкиваемся с математическими понятиями всякий раз, когда пытаемся внести любое уточнение при обсуждении идей и передаче информации.

Поэтому на самом деле вопрос состоит в том, какого рода математическое исследование подходит к той или иной конкретной задаче, какие ограничения имеют место в каждом случае и каким образом эти методы можно развивать дальше.

Не следует, разумеется, забывать, что любая математическая модель — это идеализированное, абстрактное построение, которое в лучшем случае лишь частично соответствует действительности. Так, мы видели, что с определенной степенью точности поперечное сечение пчелиных сотов можно считать более или менее шестиугольным, однако при достаточно близком рассмотрении наблюдаются заметные отклонения от идеальной геометрической формы. Аналогично логарифмическая спираль, выбранная надлежащим образом, приближенно отражает форму раковины моллюска Nautilus, однако при более тщательных наблюдениях и измерениях легко обнаруживается, что она заметно отклоняется от теоретической кривой. И в лучшем случае удается описать лишь основную общую форму раковины; при попытке математического описания ее тонкой структуры, не говоря уже об описании находящегося в раковине живого организма, возникают значительно более сложные проблемы.

Чем сложнее рассматриваемое явление, тем труднее построить его достаточно точную количественную модель; частично это обусловлено самой природой некоторых процессов, затрудняющей их измерение, а частично тем, что слишком сложные математические модели чрезмерно громоздки и не имеют практической ценности.

При описании целого организма нам часто приходится ограничиваться такими общими показателями, как вес и размер, а также общим описанием анатомии и физиологии, которое удается подкрепить лишь отдельными количественными характеристиками некоторых частей тела или некоторых функций. При изучении групп животных степень абстракции еще больше. В этих случаях могут рассматриваться число индивидуумов в популяции, их возраст/и пол, возможно, некоторые фенотипические признаки (соответствующие весьма небольшому числу генетических локусов) или некоторые легко поддающиеся наблюдению схемы поведения и т. п.

Для того чтобы решить, какие факторы можно считать несущественными в том или ином случае, необходимо хорошо разобраться в I исследуемой задаче. Довольно большое число деталей приходится опускать даже при чисто словесном биологическом описании. Еще больше деталей опускают при построении математических моделей биологических явлений, но за счет этого все, что включается в модель, может быть описано очень точно. В то же время следует учесть, что сложные экологические системы могут быть связаны с таким огромным количеством биологически существенной информации, которую человек не в состоянии охватить полностью, пользуясь лишь обычными словесными описаниями. В этом случае ценную помощь могут оказать статистические методы компактного представления и обработки информации. Кроме того, больших успехов можно добиться с помощью существующих в настоящее время методов обработки данных на больших электронных вычислительных машинах. Более полно эти вопросы обсуждаются в последующих главах.

Нередко мы сталкиваемся с противоречием между реалистичностью модели и возможностью оперировать ею. Очень точное описание всех известных фактов, скажем, о некотором развивающемся виде не позволит выполнить какие-либо полезные вычисления или осуществить какое-либо прогнозирование. В то же время чрезмерно упрощенная математическая модель позволит легко оценить численные значения определенных коэффициентов, но они будут крайне неточны, поскольку были опущены некоторые существенные факты. Это извечная дилемма, возникающая при любой научной работе. Она отнюдь не специфична для биологии и медицины, хотя принимает здесь особенно острую форму. Более подробно мы коснемся этого важного вопроса в гл. 3, где рассматривается процесс научного исследования в целом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление