Макеты страниц Суммарная численность популяцииКак уже упоминалось ранее, нас иногда интересует не только число особей некоторого сообщества, фактически живущих в какой-либо момент времени, но и общее число когда-либо живших особей. Решить эту задачу значительно легче, чем это может показаться с первого взгляда. Рассмотрим, к примеру, простой процесс размножения и гибели, описанный в разд. 8.2, со скоростями размножения и гибели, равными соответственно Р и Для описания числа особей, живущих в популяции в момент времени t, используем случайную величину Таким образом, единственными ненулевыми значениями функции
Легко видеть, что основное дифференциальное уравнение в частных производных для производящей функции моментов имеет вид
при начальном условии
(так как Уравнение (8.57) по-прежнему справедливо, даже если Когда
И
Если то предельные значения при
так что среднее число особей, когда-либо существовавших в популяции (при Далее можно найти в явном виде выражение для производящей функции вероятностей. Полагая в формулах (8.57) и
при начальном условии
(Уравнение (8.62) можно было также записать непосредственно, используя общую формулу (8.48).) Решая это уравнение обычными методами, получаем
где
(Это квадратное уравнение образуется автоматически при решении одного из характеристических уравнений.) Выражение (8.64) достаточно компактно, хотя и сложно, и из него выводятся некоторые интересные свойства. Например, можно получить в явном виде асимптотическое распределение суммарной численности популяции, для чего нужно просто вычислить
где
При
где
|
Оглавление
|