Главная > Разное > Математика в биологии и медицине
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.2. ПРОСТЫЕ ЭПИДЕМИИ

Рассмотрим вначале эпидемию простейшего вида, т. е. случай, когда заболевание распространяется среди группы восприимчивых индивидуумов, но удаления их из популяции за счет гибели, выздоровления или изоляции не происходит. Такая аппроксимация может оказаться приемлемой для начальных стадий некоторых заболеваний верхних дыхательных путей, так как при таких заболеваниях может пройти большой промежуток времени, прежде чем источник инфекции будет удален из популяции. Допустим, что имеется индивидуумов, восприимчивых к данному заболеванию, и что в момент времени в группу попадает один источник инфекции. Естественно начинать исследование с детерминистской модели, хотя можно предположить, что она не очень подойдет для эпидемий, начинающихся при небольшом числе источников инфекции, так как статистические колебания в группе зараженных индивидуумов будут ощутимы даже в том случае, если значение достаточно велико.

Детерминистская модель

Рассмотрим однородно перемешанную группу, состоящую из индивидуумов. Пусть в момент t в этой группе имеется восприимчивых индивидуумов и у источников инфекции, т. е. . Разумно предположить, что среднее число новых случаев заболевания, появляющихся в интервале будет пропорционально как числу источников инфекции, так и числу восприимчивых индивидуумов. Если частота контактов между членами этой группы равна то среднее число новых случаев заболевания, появляющихся в интервале будет равно , т. е.

Удобно изменить временную шкалу, введя переменную тогда уравнение движения для данного процесса принимает вид

при начальном условии

По существу, мы предполагаем здесь, что зараженный индивидуум становится заразным для остальных восприимчивых индивидуумов сразу после того, как он сам заразится, т. е. что латентный период равен нулю.

Решение уравнения (9.1) при условии (9.2) имеет вид

На практике во время эпидемии регистрируется обычно число новых случаев, появляющихся за сутки или за неделю. Поэтому более удобно рассматривать динамику нарастания числа новых случаев, описываемую так называемой эпидемической кривой. Соответствующее ей уравнение имеет вид

Это симметричная одновершинная кривая с максимумом в точке

Таким образом, получено характерное свойство эпидемий: число новых случаев сначала быстро возрастает, в какой-то момент достигает максимума, а затем уменьшается до нуля. Такая форма эпидемической кривой является чисто математическим следствием принятого допущения о том, что среднее число новых случаев пропорционально как числу восприимчивых индивидуумов, так и числу источников инфекции. Нет необходимости объяснять форму кривой изменением вирулентности, хотя это и может иметь место.

Стохастическая модель

Рассмотрим теперь свойства аналогичной стохастической модели и обозначим через случайную величину, характеризующую число восприимчивых индивидуумов в момент t. Естественно допустить, что вероятность появления одного нового случая пропорциональна числу восприимчивых индивидуумов и числу источников инфекции. Таким образом, фактическую вероятность перехода для интервала можно записать как . Снова изменим масштаб времени, введя переменную и используем метод, применявшийся в разд. 8.2. Единственным значением функции отличным от нуля, является значение Отсюда непосредственно следует, что дифференциальное уравнение в частных производных для производящей функции вероятностей имеет вид

при начальном условии

Как и в случае детерминистской модели, здесь снова неявно предполагалось, что латентный период равен нулю.

Уравнение (9.5) представляет собой стандартное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, решение которого можно получить в виде разложения по собственным функциям. В том виде, как оно записано, это уравнение имеет кратные собственные значения, и в целом данный метод довольно сложен. При нецелочисленных решение уравнения (9.5) содержит ряд гипергеометрических функций. Затем полагаем ; этот предельный переход влечет за собой ряд усложнений. Во многих отношениях легче перейти непосредственно к дифференциально-разностным уравнениям для отдельных вероятностей . Эти уравнения, которые можно вывести из уравнения (9.5) или получить обычным способом, имеют вид

при начальном условии

Последовательное решение уравнений (9.7) в принципе возможно, но на практике оно неосуществимо. Однако, используя преобразования Лапласа, легко находим

где

Путем обратного преобразования правой части выражения (9.9) можно непосредственно найти значения , хотя получаемые результаты очень громоздки. Это обусловлено появлением кратных корней при разложении на элементарные дроби.

Например, если — четное число и то методами элементарной алгебры находим

где

При в разложении на элементарные дроби появляются множители, соответствующие кратным корням, и выражение для оказывается значительно сложнее. Основная цель вывода результатов (9.11) и (9.12) состоит в том, чтобы показать, насколько сложны выражения для точных значений вероятностей даже в случае простейшей стохастической модели эпидемии. Столь же сложны и выражения для математического ожидания. Так как

то, подставляя сюда значение из формулы (9.11), после очень сложных алгебраических преобразований получаем

где стремится к при четном при нечетном .

В последнем случае член, соответствующий , необходимо уменьшить вдвое. С помощью уравнения (9.13) эпидемическую кривую можно оценить численно. Результаты для таких значений , как 10, 20 и 30, показывают, что стохастическая эпидемическая кривая достигает своего максимума почти в то же время, что и соответствующая кривая, полученная на основании детерминистской модели, но она асимметрична и поднимается и спускается более полого.

Ясно, что, хотя получение точных результатов чисто алгебраическими методами может представлять интерес с точки зрения математики, на практике это задача весьма неблагодарная. В разд. 3.4 и 5.5 мы уже упоминали о других математических и вычислительных методах, пригодных для решения этой задачи, и во избежание повторения отсылаем читателя к этим разделам. Можно попытаться найти численное решение дифференциального уравнения в частных производных (9.5) или системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9.7), однако при этом способе трудно получить требуемую точность. Методы моделирования, вероятно, гораздо более перспективны, и их легко применять даже в случае процессов более общего типа, чем тот, который рассматривается нами сейчас.

Нельзя, однако, забывать, что такой подход в значительной мере лишает нас возможности реального проникновения в математическую структуру задачи. Поэтому результаты моделирования желательно использовать для проверки новых математических результатов, особенно полученных приближенными методами.

Наконец, заметим, что в простой стохастической модели эпидемии имеется один параметр, определить который несколько легче. Это длительность эпидемии, т. е. время, требуемое для того, чтобы вся группа восприимчивых индивидуумов оказалась зараженной. Если имеется источников инфекции и восприимчивых индивидуумов, то вероятность появления в интервале нового источника инфекции равна , а длительность промежутка времени до момента появления этого нового источника инфекции имеет экспоненциальное распределение

Длительность эпидемии Т равна сумме величин

Далее, семиинвариант распределения (9.14) равен Все значения независимы и, следовательно, семиинвариант распределения случайной величины Т имеет вид

Для малых семиинварианты можно вычислить непосредственно по формуле (9.16). Для больших значений имеются асимптотические аппроксимации

где — постоянная Эйлера, а — функция Римана. Легко показать, что при показатели асимметрии и эксцесса приближаются соответственно к 0,8 и 1,2, что указывает на заметное отклонение от нормальности. Кроме того, даже для средних групп коэффициент изменчивости довольно велик: при он равен 0,27.

Отсюда следует, что характер течения эпидемии подвержен резким колебаниям, обусловленным чисто случайными причинами, и в тех характерных случаях, когда эпидемия распространяется очень медленно или слишком быстро, не следует поспешно относить это за счет каких-то особых причин — скажем, необычно низкой вирулентности возбудителя или особо высокой контагиозности инфекции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление