Главная > Разное > Математика в биологии и медицине
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.6. ЗАРАЗНЫЙ И ЛАТЕНТНЫЙ ПЕРИОДЫ

Мы только что указали на необходимость более широкого исследования моделей, включающих параметры, имеющие биологическое значение. Как далеко мы сможем продвинуться в этом направлении путем видоизменения цепочечно-биномиального метода, сказать трудно. Другой метод, который стоит обсудить в связи с этой проблемой, — это непосредственное рассмотрение заразного и латентного периодов в предположении, что длительности каждого из них характеризуются определенным распределением. Рассмотрим сначала семьи, в которых имеется только двое детей. После заболевания одного из них (первичный случай) второй может заболеть, а может и не заболеть. Следовательно, часть имеющихся у нас данных будет охватывать семьи только с одним или двумя случаями заболевания. Из данных, касающихся двух случаев, можно получить дополнительную ценную информацию о длительности интервала между этими случаями.

В табл. 8 приведены типичные данные о заболеваемости корью в семьях, где имеется двое детей, полученные в 1946—1952 гг. д-ром Симпсоном в г. Сайренсестере. Всего исследовалось 264 семьи, и в 45 семьях наблюдался только один случай заболевания. В остальных 219 семьях наблюдались два случая, и это дало возможность вычислить длительность интервала между ними. Из таблицы видно, что распределение имеет несколько неожиданную форму. При значении, равном 11 суткам, наблюдается заметный пик с большим рассеянием в обе стороны, т. е. сериальный интервал (и, возможно, инкубационный период) испытывает заметные статистические колебания. Но, кроме того, наблюдается также некоторая концентрация данных вблизи начальной точки распределения с небольшим пиком при значении, равном одним суткам.

Таблица 8. Интервалы между случаями кори в семьях с двумя детьми

Этот пик обусловлен скорее всего одновременным появлением двух первичных случаев в результате контакта с одним и тем же внешним источником. Основная же часть распределения отражает передачу инфекции от одного члена семьи к другому.

Какие изменения необходимо внести в рассмотренные ранее модели, чтобы объяснить данные такого рода? Простейшим обобщением строгой цепочечно-биномиальной модели явилось бы допущение о том, что длительность латентного периода варьирует, тогда как заразный период по-прежнему очень короток. Легко видеть, что в этих условиях сериальный интервал будет следовать распределению длительностей латентного периода.

Допустим, что дисперсия этого распределения равна и. Тогда интервалы между последовательными случаями заболевания, вызванными двойными первичными случаями, соответствуют абсолютной разности между двумя независимо распределенными латентными периодами. Таким образом, абсолютная величина начального момента равна . Если в табл. 8 выделить два распределения (принимая какое-либо произвольное решение о перекрывающихся участках, которое не имеет существенного значения), то абсолютная величина начального момента для двойных первичных случаев окажется приближенно равной v. Таким образом, предлагаемое обобщение является несостоятельным.

Более общим было бы допущение о наличии более продолжительного заразного периода некоторой постоянной длительности (его также можно сделать переменным, однако даже постоянный, но более продолжительный интервал уже сам по себе вносит некоторые дополнительные вероятностные элементы). Допустим, например, что латентный период характеризуется приближенно нормальным распределением с математическим ожиданием и дисперсией т. е. что функция имеет вид

и что заразный период имеет постоянную длительность а. Предполагается, что вероятность заражения восприимчивого индивидуума в любом интервале заразного периода вплоть до момента заболевания или момента окончания заразного периода равна . Это означает, что механизм передачи инфекции представляет собой случайный пуассоновский процесс, происходящий в интервале длительностью а.

Из сказанного выше следует, что распределение абсолютной длительности интервала между двойными первичными случаями имеет вид

Рассмотрим теперь семьи с одним первичным случаем заболевания и последующим вторичным. Пусть — промежуток времени между началом заразного периода и моментом возникновения вторичного случая. Так как длительность интервала должна иметь экспоненциальное распределение, усеченное в точке то соответствующая плотность распределения имеет вид

Если длительность сериального интервала равна , то очевидно, что

С помощью выражений (9.45) и (9.47) можно записать совместное распределение случайных величин . Заменяя на и исключая путем интегрирования, получаем безусловное распределение случайной величины :

где

(9.49)

Таким образом, распределение (9.46) описывает длительность сериальных интервалов при двойных первичных заболеваниях, а распределение (9.48) — при одном первичном случае. Кроме того, существует еще и третий источник данных — семьи только с одним случаем заболевания. Пусть число таких семей равно С, а число семей как с первичными, так и с вторичными случаями заболевания равно В. Так как вероятность того, что второй восприимчивый член семьи не заболеет в течение заразного периода, равна вероятность появления наблюдаемых чисел имеет биномиальное распределение с плотностью

Теперь можно записать вероятность наблюдения В семей при данном значении , а также вероятность появления интервалов распределений, представленных в табл. 8.

Используя выражения (9.46), (9.48) и (9.50), можно приступить к отысканию максимально правдоподобных оценок всех четырех параметров обычным способом, т. е. применяя метод максимального правдоподобия и вычисляя информационные функции. Приближенные исходные значения, необходимые для того, чтобы начать вычисления итерационным методом, можно получить, приравнивая эмпирическое среднее и эмпирическую дисперсию распределения длительности интервала при одном первичном случае, эмпирический второй начальный момент распределения — длительности интервала при двух первичных случаях и наблюдаемое число семей только с одним случаем заболевания — теоретическим значениям соответствующих параметров. Все эти формулы здесь не приводятся. Вычисление максимально правдоподобных оценок на настольной счетной машине требует много времени и очень утомительно; возможно, по этой причине большинство эпидемиологов в прошлом не принимало этот метод всерьез. Однако теперь, при наличии электронных вычислительных машин, эту работу можно спокойно возложить на математиков и программистов.

Биологов и медиков интересует лишь окончательный результат, т. е. фактические оценки с соответствующими средними квадратическими ошибками. Для рассматриваемых здесь данных эти оценки имеют следующие значения:

Отсюда, в частности, можно найти, что средняя длительность инкубационного периода, равная а (эти оценки имеют отрицательную корреляцию), составляет суток. Кроме того, можно вычислить критерий согласия и определить, насколько близки наблюдаемые числа к теоретическим значениям. Некоторые группы данных вследствие их малого размера необходимо объединить, однако для интервалов длительностью 1 и 2 недели существует большая вероятность появления систематической ошибки. Поэтому данные для 7 и 14 суток были объединены с данными, относящимися к предыдущему и последующему дням. Это дает удовлетворительное значение равное 12,9 при 8 степенях свободы.

Оценки (9.51) особенно интересны тем, что они дают для кори довольно большой заразный период длительностью почти в неделю, а средняя длительность латентного периода превышает неделю. Таким образом, сумма этих двух величин очень близка к действительной длительности инкубационного периода. Важно иметь в виду, что принятое нами упрощенное представление о почти постоянном латентном периоде и очень коротком заразном периоде совершенно неприемлемо, если сериальные интервалы варьируют так сильно, как в наблюдениях, представленных в табл. 8. Необходимо, конечно, разработать какую-то более совершенную модель. Рассмотренная здесь модель обладает тем достоинством, что довольно хорошо согласуется с некоторыми результатами наблюдений.

Аналогичный анализ можно выполнить и для более крупных семей, хотя с увеличением размера группы задача быстро усложняется. Для групп из трех человек также получены максимально правдоподобные оценки и информационные функции, и весьма обнадеживает то, что при использовании данных о заболеваемости корью, полученных Симпсоном, найденные оценки основных параметров не отличаются значимо от оценок, определяемых по формулам (9.51).

Разумеется, исследования аналогичного характера необходимо проводить в гораздо большем масштабе и для самых различных заболеваний.

Хотя они сопряжены со значительными математическими и вычислительными трудностями, у медиков и биологов нет реальных оснований для серьезного беспокойства по этому поводу. Рассмотренная здесь модель довольно проста, и входящие в нее параметры имеют прямой практический смысл. Поэтому такой количественный анализ мог бы играть значительно более важную роль в эпидемиологических исследованиях, чем он играет сейчас.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление