Главная > Разное > Математика в биологии и медицине
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.3. СБАЛАНСИРОВАННОЕ ТРИГИБРИДНОЕ ВОЗВРАТНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ

В предыдущем разделе мы убедились в значительных преимуществах проведения анализа на сцепление двух факторов методом сбалансированного возвратного скрещивания, поскольку здесь требуются менее строгие допущения о характере влияния дифференциальной жизнеспособности. Если рассматривается порядок расположения нескольких локусов, то в экспериментах с тригибридным возвратным скрещиванием легче определить истинный порядок их расположения, чем при изучении трех отдельных дигибридных возвратных скрещиваний (хотя мы рассматривали лишь тот случай, когда влияние дифференциальной жизнеспособности отсутствует). Существуют также и некоторые другие аргументы в пользу тригибридных (или даже полигибридных) скрещиваний. Так, хотя частота рекомбинаций и является довольно постоянной величиной, у разных пород животных и в разных условиях среды она может слегка варьировать. Поэтому лучше исследовать как можно больше параметров в пределах одного эксперимента. Кроме того, возникают большие сложности, когда точки обмена не распределены вдоль хромосомы случайным образом, т. е. имеет место интерференция. В этом случае соотношение (10.4) уже не справедливо и труднее описать частоты различных типов рекомбинаций; поэтому здесь необходимо проводить эксперименты с использованием нескольких сцепленных факторов. Многие доводы в пользу такого рода экспериментов очень близки к доводам в пользу факторных экспериментов при агрономических полевых испытаниях или других, по смыслу аналогичных исследованиях.

Полный математический анализ даже тригибридного возвратного скрещивания сопряжен с рядом трудностей (см. другую книгу автора [7], разд. 4.5), хотя интерпретация получаемых результатов с точки зрения генетики вполне возможна. Рассмотрим оценку параметров для одной модели по методу Р. Фишера. Как и ранее, допустим, что имеются три пары локусов и предположим, что истинным порядком локусов является АВС. При образовании гамет рекомбинации могут вообще не происходить, происходить только на первом участке АВ, только на втором участке ВС или на обоих участках одновременно. Пусть вероятности каждого из этих четырех возможных случаев равны соответственно , где . Мы не принимаем здесь допущения о том, что рекомбинации на обоих участках происходят независимо друг от друга.

Ясно, что частоты рекомбинаций между генами А и В и между генами В и С равны соответственно

(10.11)

и мы не предполагаем, что в общем случае

Если мы хотим получить полностью сбалансированные данные, нам необходимы данные по каждому из четырех тройных гетерозигот: . Пусть число потомков, полученных при этих четырех типах скрещивания, равно соответственно Математические ожидания в случае тригибридного возвратного скрещивания в фазе сцепления при отсутствии дифференциальной жизнеспособности приводились в табл. 11. Допустим, что средние значения относительной жизнеспособности для четырех пар фенотипов, встречающихся в потомстве, равны соответственно , где . Тогда математические ожидания и наблюдаемые значения для всей рассматриваемой совокупности сбалансированных возвратных скрещиваний можно записать в виде, показанном в табл. 15, где приняты следующие обозначения:

Таблица 16. Сбалансированное тригибридное возвратное скрещивание при наличии дифференциальной жизнеспособности

Математические ожидания, приведенные в этой таблице, обнаруживают очевидную комбинаторную симметрию, и можно надеяться, что с помощью какого-либо изящного математического приема можно будет получить в явном виде максимально правдоподобные оценки и средние квадратические ошибки. Так, если для удобства принять обозначения

то функцию правдоподобия для рассматриваемой совокупности наблюдаемых величин можно записать в следующем виде:

(10.14)

Это соотношение необходимо максимизировать при условиях . Поэтому начнем с вычисления таких основных характеристик, как

К сожалению, чисто математический анализ сопряжен здесь с очень сложными алгебраическими выкладками, хотя можно получить ряд интересных результатов для некоторых частных случаев. Допустим, например, что необходимо начать с проверки существования дифференциальной жизнеспособности. Принимаем нулевую гипотезу и приступаем к вычислению максимально правдоподобных оценок для этих параметров, используя максимально правдоподобные оценки частот рекомбинаций в отсутствие дифференциальной жизнеспособности. Легко видеть, что эти оценки имеют вид

Далее находим дифференциальные характеристики

(10.17)

которые практически являются оценками для , если исключить условие, что сумма этих последних должна быть равна 4.

Очень удобно использовать преобразование Оуэна

(10.18)

где

(10.19)

чтобы оперировать с линейно независимыми преобразованными величинами Поскольку величины являются линейными функциями параметров u, v, w и t, можно образовать соответствующие коэффициенты

Если положить

то для проверки нулевой гипотезы можно использовать критерий с тремя степенями свободы:

(10.22)

где — корреляционная матрица коэффициентов Элементы этой матрицы легче всего вычислить непосредственно, а не с помощью информационных функций.

Корреляционная матрица имеет вид

(10.23)

В табл. 16 приведены данные Парсонса о рецессивных генах scute (sc), cross-veinless (cv) и vermilion (v) плодовой мушки Drosophila.

Рассматривая эту таблицу как таблицу сопряженности признаков 4x4, получаем с девятью степенями свободы, т. е. высокозначимый результат. При допущении о существовании сцепления возможное влияние дифференциальной жизнеспособности можно обнаружить описанным выше методом.

Таблица 16. Сбалансированное тригибридное возвратное скрещивание плодовых мушек Drosophila

Так, дифференциальные характеристики, заданные выражениями (10.17), равны

а коэффициенты, заданные выражениями (10.21), равны

Тогда корреляционная матрица V (10.23) принимает следующий вид:

Теперь по формуле (10.22) можно вычислить с тремя степенями свободы; он равен 12,79. Хотя это и значимый результат, он, к сожалению, составляет лишь небольшую часть суммарного , равного 54,88. Остающаяся часть равная 42,09, также высокозначима. Парсонс предположил, что эта неоднородность, возможно, обусловлена некоторым «эффектом положения», при котором частота рекомбинаций изменяется с изменением генотипа родительской гетерозиготной особи.

Для нахождения максимально правдоподобных оценок всех параметров Фишер и Оуэн использовали несколько иную модель, в которой предполагается, что при повторных выборках только общая сумма N сохраняется постоянной, а число потомков с разными фенотипами, может изменяться. Это требует иной постановки эксперимента и сопряжено с появлением дополнительных параметров. В йонечном счете этот метод дает систему из девяти уравнений, которые можно решить итерационным методом и таким образом получить оценки всех параметров. Применительно к данным, приведенным в табл. 16, окончательно получаем

Из соотношений (10.11) находим, что частота рекомбинаций для составляет 13,45%, а для — 20,67%. Очевидно, что частота двойных рекомбинаций, составляющая около 0,7%, значительно меньше, чем можно было бы ожидать. Это свидетельствует о значительной положительной интерференции.

До сих пор при таком подходе средние квадратические ошибки еще не вычисляли, и в этом его большой недостаток для практики.

С генетической точки зрения (в отличие от математической), по-видимому, лучше всего возвратиться к первой модели и находить максимально правдоподобные оценки путем непосредственного их вычисления. Основные коэффициенты вычисляются по формуле (10.15), а информационные функции легко найти обычным путем, хотя алгебраические выкладки будут довольно громоздкими. Но для преодоления этих технических трудностей, связанных с оценкой параметров, можно составить соответствующую программу для вычислительной машины. Это позволит биологу сосредоточиться на численных результатах и их интерпретации, и ему не придется пугаться сложных алгебраических преобразований, описанных в учебниках по общей математике.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление