Главная > Разное > Математика в биологии и медицине
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.5. МЕТРИКИ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ

В конце разд. 10.1 указывалось, что при рассмотрении характера рекомбинаций при наличии интерференции целесообразнее использовать модель четырех нитей, согласно которой каждая гомологичная хромосома состоит из двух одинаковых хроматид, связанных лишь в одном определенном локусе при помощи центромеры. В кроссинговере участвуют все четыре хроматиды; считается, что этот процесс начинается из центромеры и распространяется к свободным концам хроматид. Полностью описать весь этот случайный процесс чрезвычайно трудно, поскольку нужно учесть существование четырех отдельных хроматид и нескольких различных типов интерференции. В первом приближении большинства этих трудностей можно избежать, ограничившись рассмотрением процесса, происходящего вдоль одной хроматиды, или нити. Мы сосредоточим внимание на точках, в которых происходит обмен генетического материала, и попытаемся найти такое распределение вероятностей для величины интервалов между последовательными точками обмена, которое удовлетворительно описывало бы различные возможные эффекты интерференции. Будем считать, что нити, расположенные по разные стороны от центромеры, независимы, хотя и имеются данные о том, что иногда происходит интерференция и через центромеру.

Итак, допустим, что рассматриваемая нить представляет собой полубесконечный континуум точек, которые можно нанести на полубесконечную прямую с началом в центромере ([7], гл. 11).

Таким образом, любой точке нити соответствует определенная точка на прямой, расстояние которой t от начала отсчета измеряется в некоторой удобной метрике. Эту метрику мы и будем искать. Предположим, что точки обмена образуются вдоль нити последовательно. Начнем с центромеры. Пусть все интервалы между последовательными точками обмена при измерении в метрике представляют собой независимые случайные величины с одинаковыми распределениями

(10.38)

Соответствующие функции распределения имеют вид

(10.39)

Нетрудно видеть, что такой подход приводит к известному процессу восстановления. Поэтому с помощью теории восстановления можно непосредственно получить целый ряд результатов. К сожалению, нас мало интересуют общие теоремы, так как мы пытаемся определить конкретные результаты для модели, описывающей наблюдаемый характер рекомбинаций. Кроме того, чтобы модель была более достоверной, в нее необходимо внести некоторые изменения, что значительно затруднит применение стандартной теории восстановления. Поэтому часто целесообразно начинать исследование с самого начала. Однако, прибегнув к аналогии с теорией восстановления, некоторую предварительную информацию можно все же получить путем следующих рассуждений.

Пусть вероятность появления точек обмена (исключая центромеру) в интервале (0, t) равна с производящей функцией вероятностей

(10.40)

На даннохм этапе удобнее воспользоваться преобразованием Лапласа, которое для произвольной функции определяется следующим образом:

(10.41)

В теории восстановления существует стандартный результат, согласно которому преобразование функции можно выразить через преобразование функции следующим образом:

В данном случае расстояние на хромосомной карте равно среднему числу точек обмена в интервале (0, t). Следовательно, преобразование функции равно , т. е.

(10.43)

Частота рекомбинаций в интервале (0, t) равна

а преобразованием функции является выражение

т. е.

В частном случае, когда интерференция отсутствует, точки обмена распределены случайным образом и можно принять, что преобразование этой функции имеет вид Подставляя это соотношение в формулу (10.43), получаем Таким образом, в данном случае эта специальная метрика совпадает с расстоянием на хромосомной карте. Затем, подставляя значение в формулу (10.44), получаем откуда путем обратного преобразования находим или как в полученной ранее формуле (10.27).

Разумеется, больший интерес представляют функции более общего вида, особенно функция, предложенная Оуэном (см. другую книгу автора [7], разд. 12.2):

(10.45)

Эта функция по существу является нормированным распределением с четырьмя степенями свободы, у которого математическое ожидание равно единице, т. е. случайная величина и пределена как Преобразование функции (10.45) имеет вид

(10.46)

Подставляя значения в формулы (10.43) и (10.44), после обратного преобразования получаем

и

(10.48)

При имеем но интересно, что при конечном возникает ряд затухающих колебаний. Легко убедиться в том, что первое стационарное значение появляется в точке , когда частота рекомбинаций составляет около 52,2% и расстояние на хромосомной карте равно 133 сМ. Особый интерес представляет возможность появления в данной модели частоты рекомбинаций, превышающей 50%. Такие значения иногда наблюдаются, хотя и не всегда легко определить, обусловлены ли они интерференцией рассматриваемого типа или же некоторыми другими эффектами.

Рассмотренный здесь вывод можно распространить и на более общий случай, когда интервал не начинается в центромере; правда, описание при этом значительно усложняется. В этом случае при использовании модели Оуэна возможно появление несколько более высокой частоты рекомбинаций — до 53,3%.

Для простоты изложения мы рассматривали теоретически бесконечные хромосомные нити. Поэтому необходимо внести определенную коррекцию с учетом того, что нити имеют конечную длину. Выполнить это можно различными способами. Пусть, например, нить имеет длину Т. Тогда можно использовать рассмотренную выше модель бесконечной нити и просто считать, что значение имеют лишь события, происходящие в интервале (0, Т), а события в интервале несущественны. Другой способ основан на следующих соображениях. Имеются некоторые основания полагать, что должна существовать по крайней мере одна точка обмена на пару хромосом; поэтому есть смысл рассматривать для данной нити вероятностную ситуацию, обусловливаемую этим событием. Однако наличие хотя бы одной точки обмена на пару хромосом (содержащую четыре хроматиды) — не то же самое, что наличие хотя бы одной точки обмена в любой данной хроматиде, поэтому при таком подходе нужно учитывать совместную конфигурацию всех четырех хроматид, что весьма сложно. Другой метод, предложенный Оуэном, состоит в том, что рассматривается распределение событий в интервале (0, Т) при условии, что в интервале точки обмена отсутствуют. С математической точки зрения такой прием, вообще говоря, приемлем, но вряд ли он будет привлекателен для биолога, не имеющего глубокой математической подготовки. Интересно, что в такой модели частота рекомбинаций может достигать 60%.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление