Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
 |
Ласло Фейеш Тот. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве Эта небольшая книга известного венгерского математика посвящена разнообразным задачам о плотнейшем расположении фигур или тел, а также некоторым смежным вопросам, связанным с этими задачами. Книга содержит богатый материал, интересный и полезный для студентов университетов и пединститутов; часть этого материала может быть использована преподавателями средней школы в работе математических кружков. |
Оглавление
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДАПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
ГЛАВА I. НЕСКОЛЬКО ТЕОРЕМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Выпуклые фигуры
§ 2. Аффинное преобразование и полярное преобразование
§ 3. Экстремальные свойства правильных многоугольников
§ 4. Изопериметрическая задача
§ 5. Некоторые неравенства, относящиеся к треугольнику
§ 6. Теорема Эйлера о многогранниках
§ 7. Правильные и полуправильные многогранники
§ 8. Полярные треугольники, круг Лекселля
§ 9. Некоторые тождества из векторной алгебры
§ 10. Некоторые формулы сферической тригонометрии
§ 11. Исторические замечания
ГЛАВА II. ТЕОРЕМЫ ИЗ ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ
§ 1. «Теорема выбора» Бляшке
§ 2. Неравенство Иенсена
§ 3. Теоремы Доукера
§ 4. Одно экстремальное свойство эллипса
§ 5. Об аффинной длине
§ 6. Вариационная задача для аффинной длины
§ 7. Основные факты интегральной геометрии
§ 8. Исторические замечания
ГЛАВА III. ЗАДАЧА ЗАПОЛНЕНИЯ И ЗАДАЧА ПОКРЫТИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПЛОСКОСТИ
§ 1. Плотность системы фигур
§ 2. Задачи о плотнейшем заполнении плоскости кругами и о редчайшем покрытии плоскости кругами
§ 3. Несколько доказательств
§ 4. Заполнение и покрытие выпуклой области равными кругами
§ 5. Разбиение выпуклой области на выпуклые подобласти
§ 6. Заполнение выпуклой области кругами n различных размеров
§ 7. Оценки для случая неравных кругов
§ 8. Дальнейшие теоремы о покрытии кругами
§ 9. Разбиение выпуклого шестиугольника на выпуклые многоугольники
§ 10. Заполнение и покрытие выпуклого шестиугольника равными выпуклыми фигурами
§ 11. Одна задача о заполнении выпуклыми фигурами, связанная с понятием аффинной длины
§ 12. О формуле осреднения
§ 13. Исторические замечания
ГЛАВА IV. ЭКОНОМИЧНОСТЬ ЗАПОЛНЕНИЯ и ПОКРЫТИЯ ФИГУРАМИ ДАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Экстремальные свойства треугольника
§ 2. Центрально-симметричные фигуры
§ 3. Экономичность заполнения и покрытия фигурами данной последовательности
§ 4. Покрытие разрезанными на куски выпуклыми фигурами
§ 5. Исторические замечания
ГЛАВА V. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ
§ 1. Заполнение и покрытие сферы равными кругами
§ 2. Некоторые другие доказательства
§ 3. Приближение шара многогранниками
§ 4. Объем описанного многогранника
§ 5. Объем вписанного многогранника
§ 6. Неравенства, связывающие радиусы вписанного и описанного шаров выпуклого многогранника
§ 7. Изопериметрическая задача для многогранников
§ 8. Одно общее неравенство
§ 9. О кратчайшей сети, разбивающей сферу на равновеликие выпуклые части
§ 10. О сумме длин ребер многогранника
§ 11. Редчайшая насыщенная система сферических кругов
§ 12. Приближение выпуклой поверхности многогранниками
§ 13. Исторические замечания
ГЛАВА VI. НЕПРАВИЛЬНЫЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ НА СФЕРЕ
§ 1. Граф, отвечающий заданной системе точек
§ 2. Максимальная фигура для n = 7
§ 3. Максимальная фигура для n = 8 и n = 9
§ 4. Несколько расположений более чем 9 точек
§ 5. Таблица результатов
§ 6. Исторические замечания
ГЛАВА VII. РАСПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 2. Задача о теснейшей упаковке шаров
§ 3. Об одном экстремальном разбиении пространства
§ 4. Формула осреднения для пространства
§ 5. Исторические замечания
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
ПРИЛОЖЕНИЕ I. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, КАСАЮЩИЕСЯ РАСПОЛОЖЕНИЙ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ II. НЕСКОЛЬКО ОПРЕДЕЛЕНИЙ РАЗМЕРНОСТИ
БИБЛИОГРАФИЯ