Главная > Математика > Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Некоторые формулы сферической тригонометрии

Если применить тождество (9,2) к тому случаю, когда а, b и с — единичные векторы и , то после несложных преобразований получим:

Будем считать, что векторы а, b и с имеют общее начало; тогда их концы определят сферический треугольник ABC (рис. 41). В этом треугольнике имеем далее угол между векторами с будет равен а. Следовательно, выписанное выше тождество есть не что иное, как записанная в векторной форме теорема косинусов сферической геометрии-.

Применив эту теорему к полярному треугольнику, получим вторую теорему косинусов.

Рис. 41.

Будем исходить теперь из тождества (9,3), считая в нем снова, что , тогда получим:

откуда имеем:

Так как левая сторона не меняется при циклической перест новке трех векторов, то то же самое верно и для правой стороны:

и значит,

Это теорема синусов сферической геометрии.

Обе теоремы косинусов (1) и (2) и теорема синусов (3) позволяют определить все основные элементы сферического треугольника по произвольным трем его элементам. Выпишем здесь еще те же формулы для случая прямоугольного треугольника с гипотенузой с:

Эти формулы можно легко запомнить согласно мнемоническому правилу Непера.

Рассмотрим гипотенузу с, смежные с ней углы и углы, дополнительные к катетам и 90° — b (рис. 42). Если расположить эти пять углов в естественном циклическом порядке, то косинус любого угла будет равен произведению синусов двух противолежащих углов или произведению котангенсов обоих прилежащих углов.

Запишем еще две формулы для площади нашего прямоугольного треугольника. Имеем

Рис. 42.

Но так как, с одной стороны,

а с другой стороны,

то

(4)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление