Главная > Математика > Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Разбиение выпуклого шестиугольника на выпуклые многоугольники

Докажем здесь следующую теорему:

Если разбить выпуклый шестиугольник на выпуклые многоугольники периметров , то

Так как среднее квадратичное различных величин всегда больше, чем их среднее арифметическое , то неравенство (1) представляет собой усиление неравенства (5,1), относящееся к тому случаю, когда разбиваемая область является шестиугольником.

Отметим еще следующее следствие нашей теоремы:

Если L есть общая длина сети, разбивающей выпуклый шестиугольник S периметра U на равновеликих выпуклых многоугольников, то

Поэтому если желать натянуть на раму сеть, образующую большое (но фиксированное!) число равновеликих ячеек так, чтобы общая длина всех звеньев сети была возможно меньшей, то следует выбирать сеть, отвечающую разбиению плоскости.

Для доказательства неравенства (1) обозначим число вершин многоугольника через и запишем для изопериметрическое неравенство (1, 4, 2):

Но для не только но даже и выпуклая функция Условие выпуклости в этом случае можно записать в виде

А так как , то это неравенство безусловно имеет место, если , т. е. если . Это же последнее неравенство выполняется уже для тех значений для которых т. е. Для .

Если теперь сложить все неравенства

и применить неравенство Иенсена, то, учитывая, что получим:

что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление